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1、易错题总结范文 1.有限集合的元素可以一一数出来,无限集合的元素虽然不能数尽,但是可以比较两个集合元素个数的多少.例如,对于集合A=1,2,3,n,与B=2,4,6,2n,我们可以设计一种方法得出A与B的元素个数一样多的结论.类似地,给出下列4组集合:A=1,2,3,n,与B=31,32,33,3n,;A=(0,2与B=-3,+);A=0,1与B=0,3;A=x|-1x3与B=x|x=-8或0 （1）求曲线的方程； （2）试探究和的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明理由； （3）记的面积为，求的最大值答案【答案】 （1）圆心的轨迹； （2）和的比值为一个常数，这个常数为；
2、（3）当时，取最大值解析【解析】分析试题 （1）设圆心的坐标为，半径为利用已知条件，判断得到动圆与圆只能内切，从而由，判断得出圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，且，求得圆心的轨迹； （2）设，研究直线，直线与椭圆联立的方程组，应用韦达定理，弦长公式，确定作出结论； （3）注意到的面积的面积，利用到直线的距离，将面积表示为，应用“换元”思想，令，得到应用基本不等式得解试题解析 （1）设圆心的坐标为，半径为由于动圆与圆相切，且与圆相内切，所以动圆与圆只能内切2分圆心的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，故圆心的轨迹4分 （2）设，直线，则直线由可得，6分由可得8分和的比值为一个常数，这个常数为9分 （3），的面
3、积的面积到直线的距离11分令，则（当且仅当，即，亦即时取等号）当时，取最大值14分考点圆与圆的位置关系，椭圆的定义、几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，基本不等式的应用4.已知函数,.()当时,求函数的极值;()若对任意实数,当时,函数的最大值为,求a的取值范围.答案解:()当时,则,化简得,列表如下:x01+0-0+增极大值减极小值增函数在,上单调递增,在上单调递减,且,函数在处取到极小值为,在处取到极大值为0;()根据题意, (1)当时,函数在上单调递增,在上单调递减,此时,不存在实数,使得当时,函数的最大值为; (2)当时,令有或, (1)当,即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,要存
4、在实数,使得当时,函数的最大值为,则,代入化简得,令,恒成立,故恒有,时,恒成立; (2)当,即时,函数在和上单调递增,在上单调递减,此时由题,只需,计算得出,又,此时实数a的取值范围是; (3)当时,函数在上单调递增,显然与题意相符.综上,实数a的取值范围是.解析()将时代入函数解析式,求出函数的导函数,令导函数等于零,求出其根;然后列出x的取值范围与的符号及的单调性情况表,从表就可得到函数的极值;()根据题意首先求得:,故应按,分类讨论:当时,易知函数在上单调递增,在上单调递减,从而当时,则不存在实数,与题意相符;当时,令有或,又要按根大于零,小于零和等于零分类讨论;对各种情况求函数的最大
5、值,使其最大值恰为,分别求得a的取值范围,然而将所得范围求并即得所求的范围;若求得的a的取值范围为空则不存在,否则存在.5.已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（）。 A:B:C:D:答案A视频讲解2.8M10:05解析本题主要考查函数与不等式的综合应用和数形结合思想。 本题利用先特殊后一般的方法求解。 由题意可得，即，所以，当时无解，所以，此时，所以。 抛物线的对称轴，之间的距离大于，而的区间长度小于，所以要保证，即，所以不等式的解集是，所以，所以即解得，又，所以实数的取值范围是。 故本题正确答案为A。 题目xx年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）理数6.“解方程”有
6、如下思路;设,则在R上单调递减,且,故原方程有唯一解,类比上述解题思路,不等式的解集是答案解:不等式变形为,;令,则?;考察函数,知在R上为增函数,;不等式可化为,计算得出或;不等式的解集为:.因此，本题正确答案是:.解析根据题意,把不等式变形为,利用函数的单调性把该不等式转化为一元二次不等式,从而求出解集.7.当时,不等式恒成立,则实数a的取值范围是答案解:当时,不等式对任意恒成立;当时,可化为,令,则,当时,在上单调递增,;当时,可化为,由式可以知道,当时,单调递减,当时,单调递增,;综上所述,实数a的取值范围是,即实数a的取值范围是.因此，本题正确答案是:.8.直线分别与曲线,交于A、B
7、,则的最小值为()A.3B.2C.D.答案C解:设,则,令,则,函数在上单调递减,在上单调递增,时,函数的最小值为,所以C选项是正确的.解析设,则,表示出,求出,利用导数求出的最小值.9.已知函数，是常数。 （1）求函数的图象在点处的切线方程； （2）若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围； （3）证明，存在，使。 答案 (1)解:函数的导数,则函数的图象在点处的切线为,即; (2)解: (1)时,因为,所以点在第一象限,根据题意,; (2)时,由对数函数性质知,时,从而“,”不成立; (3)时,由得,设,x1-0+极小值则,从而,;综上所述,常数a的取值范围. (3)证明:直接计算
8、知,设函数,当或时,因为的图象是一条连续不断的曲线,所以存在,使,即,使;当时,、,而且、之中至少一个为正,由均值不等式知,等号当且仅当时成立,所以有最小值,且,此时存在或,使.综上所述,存在,使.解析 (1)求出函数的导数,求出切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到切线方程； (2)讨论,运用对数函数的性质,以及分离参数,构造函数应用导数求极值、最值,即可得到a的范围； (3)设函数,计算,讨论当或时,由零点存在定理,即可得证;当时,求出的最小值,判断它小于0,再由零点存在定理,即可得证。 10.存在函数满足,对任意都有()A.B.C.D.答案D解:A.取,则,;取,则,;,和1,不符合函数
9、的定义;不存在函数,对任意都有;B.取,则;取,则;有两个值,不符合函数的定义;该选项错误;C.取,则,取,则;这样有两个值,不符合函数的定义;该选项错误;D.令,则;令,则;即存在函数,对任意,都有;该选项正确.所以D选项是正确的.解析利用x取特殊值,通过函数的定义判断正误即可.11.已知函数f（x）=（x-1）ln（x-1） （1）设函数g（x）=-a（x-1）+f（x）在区间2，e2+1上不单调，求实数a的取值范围； （2）若kZ，且f（x）+x-1-k（x-2）0对x2恒成立，求k的最大值答案【解析】 （1）求出函数g（x）=-a（x-1）+f（x）的导数，判断导函数的单调性，利用函数
10、在区间2，e2+1上不单调，列出不等式组，即可求实数a的取值范围； （2）利用f（x）+x-1-k（x-2）0求出k的不等式，利用函数的导数求解新函数在x2的最小值，利用恒成立，即可求k的最大值【答案】解 （1）g（x）=-a+1+ln（x-1）在（1，+）上递增由已知，有解得1a3a的取值范围为（1，3） （2）由题知对x2恒成立令u（x）=则u（x）=令v（x）=-ln（x-1）+x-3，x2v（x）0即v（x）在（2，+）上递增又v （4）=-ln3+10，v （5）=-2ln2+20?x0（4，5），使得v（x0）=0，即u（x0）=0u（x）在（4，x0）上递减，在（x0，5）上递增
11、=ku（x）min=x0-1又kZ，k的最大值为312.已知函数定义域为 （1）若k=1时，f（x）在上有最小值，求m的取值范围 （2）若k=2时，f（x）的值域为，试求m的值 （3）试证对任意实数m，k，总存在x0，使得当时，恒有答案 （1）me （2） （3）证明见解析解析 (1)时,令f(x)e xm0，得xln m.当01，即me. (2)法1:时,(i)时,与题意矛盾,故;又,令,则(ii)时,所以,即有,此时,与题意矛盾,故;(iii)令,得,所以,时,时,故在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,时,同(ii),此时,与题意矛盾,故;(iv)时,且,又记,则,则时,时,易知,故
12、,所以,若存在使则需,显然存在,如可取;故存在使,且时,时,时;所以得,故.法2:由得且等号成立.令,则,因为;所以,时,时,故在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以,即有,m只可取又时,以下做法同方法1(iv)注:方法1中(i)可不出现,有(ii)即可. (3)(i)时由知命题成立;(ii)时,若,则时,命题成立;(iii)且时,由(II)的证明知所以只需,取,则x(x0,)时,恒有.综上,命题成立.13.【题文】已知函数，曲线在点处的切线方程为。 （1）求、的值； （2）如果当，且时，求的取值范围。 【解析】 （1）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。 （2）由 （1）知，所以。 考虑
13、函数，则。 (i)设，由知，当时，h(x)递减。 而故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设00,故(x）0,而h （1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h （1）=14.已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+1+2xcosx，当x0，1时，（I）求证；（II）若f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围答案（I）证明当x0，1时，（1+x）e-2x1-x?（1+x）e-x（1-x）e x，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e x，则h（x）=x（e x-e-x）当x0，1）时，h（
14、x）0，h（x）在0，1上是增函数，h（x）h （0）=0，即f（x）1-x当x0，1时，?e x1+x，令u（x）=e x-1-x，则u（x）=e x-1当x0，1时，u（x）0，u（x）在0，1单调递增，u（x）u （0）=0，f（x）综上可知（II）解设G（x）=f（x）-g（x）=令H（x）=，则H（x）=x-2sinx，令K（x）=x-2sinx，则K（x）=1-2cosx当x0，1时，K（x）0，可得H（x）是0，1上的减函数，H（x）H （0）=0，故H（x）在0，1单调递减，H（x）H （0）=2a+1+H（x）a+3当a-3时，f（x）g（x）在0，1上恒成立下面证明当a-3时，f（x）g（x）在0，1上不恒成立f（x）-g（x）=-x令v（x）=，则v（x）=当x0，1时，v（x）0，故v（x）在0，1上是减函数，v（x）（a+1+2cos1，a+3当a-3时，a+30存在x00，1，使得v（x0）0，此时，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1
