《高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值(第2课时)利用导数研究函数的最值学案(含解析)新人教B版选修1_1》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值(第2课时)利用导数研究函数的最值学案(含解析)新人教B版选修1_1(18页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.理解函数最值的概念,了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点一函数f(x)在闭区间a,b上的最值函数f(x)在闭区间a,b上的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在a,b上一定能够取得最大值与最小值,函数的最值必在端点处或极值点处取得特别提醒:(1)闭区间上的连续函数一定有最值,开区间内的连续函数不一定有最值若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数yf(x)在a,b上连续,是函数yf(x)在a,b上有最大值或最小值的充分不必要条件知识点二求函数yf(x)在a,b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a,b)内
2、的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言,最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内,极大(小)值可能有多个,但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点,而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数,函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得如图是yf(x)在区间a,b上的函数图象,显然f(x1),f(x3),f(x5)为极大值,f(x2),f(x4),f(x6)为极小值最大值yMf(x3)f(b
3、)分别在xx3及xb处取得,最小值ymf(x4)在xx4处取得1函数的最大值一定是函数的极大值()2开区间上的单调连续函数无最值()3函数f(x)在区间a,b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()题型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列各函数的最值(1)f(x)4x33x236x5,x2,);(2)f(x)xsinx,x0,2考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解(1)f(x)12x26x36,令f(x)0,得x12,x2.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x2f(x)00f(x)57由于当x时,f(x)0,所以f(x)在上为增函数因此,函数f(
4、x)在2,)上只有最小值,无最大值(2)f(x)cosx,令f(x)0,又x0,2,解得x或x.计算得f(0)0,f(2),f,f.所以当x0时,f(x)有最小值f(0)0;当x2时,f(x)有最大值f(2).反思感悟求解函数在固定区间上的最值,需注意以下几点:(1)对函数进行准确求导,并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性,正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小,确定最值跟踪训练1已知函数f(x)lnx,求f(x)在上的最大值和最小值考点题点解易知f(x)的定义域为(0,),f(x)lnx1lnx,f(x).令f(x)0,得x1.当x变化时,f(x)与f(
5、x)的变化情况如下表:x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln2极小值0ln2在上,当x1时,f(x)取得极小值,也是最小值,且f(1)0.又f1ln2,f(2)ln2,ff(2)2ln2(34ln2)ln0,ff(2),f(x)在上的最大值为f1ln2,最小值为f(1)0.命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)(xk)ex,得f(x)(xk1)ex,令f(x)0,得xk1.当x变化时,f(x)与f(x)的变化情况如下表:x(,k1)k1(k
6、1,)f(x)0f(x)ek1所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,)(2)当k10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k,当0k11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k1)上单调递减,在(k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11,即k2时,函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知,当k1时,f(x)mink;当1k2时,f(x)minek1;当k2时,f(x)min(1k)e.反思感悟对参数进行讨论,其实质是讨论导函数
7、大于0,等于0,小于0三种情况若导函数恒不等于0,则函数在已知区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知函数f(x)lnx.(1)当a0时,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在1,e上的最小值是,求a的值考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解函数f(x)lnx的定义域为(0,),f(x),(1)a0,故函数在其定义域(0,)上单调递增(2)当x1,e时,分如下情况讨论:当a0,函数f(x)单调递增,其最小值为f(1)a1,这与函数在1,e上的最小值是相矛盾;当a1时,函数f(x)在1,e上单调递增,其最小
8、值为f(1)1,同样与最小值是相矛盾;当1ae时,函数f(x)在1,a)上有f(x)0,f(x)单调递增,所以,函数f(x)的最小值为f(a)lna1,由lna1,得a.当ae时,函数f(x)在1,e上有f(x)0,f(x)单调递减,其最小值为f(e)2,这与最小值是相矛盾;当ae时,显然函数f(x)在1,e上单调递减,其最小值为f(e)12,仍与最小值是相矛盾综上所述,a的值为.题型二由函数的最值求参数例3(2018四川省雅安中学期中)已知函数f(x)ax36ax2b(a0),问是否存在实数a,b,使f(x)在1,2上取得最大值3,最小值29?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由考点
9、含参数的函数最值问题题点知最值求参数解由题设知a0,由f(x)ax36ax2b,求导得f(x)3ax212ax3ax(x4),令f(x)0,得x10,x24(舍去)当a0时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知,当x0时,f(x)取得极大值b,也是函数f(x)在1,2上的最大值,f(0)b3.又f(1)7a3,f(2)16a3f(1),f(2)16a329,解得a2.当af(1),f(2)16a293,解得a2.综上可得,a2,b3或a2,b29.反思感悟已知函数的最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间
10、端点处的函数值;(2)通过比较它们的大小,判断出哪个是最大值,哪个是最小值;(3)结合已知求出参数,进而使问题得以解决跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时,f(x)在1,4上的最小值为,则f(x)在该区间上的最大值为_考点题点答案解析f(x)x2x2a,令f(x)0,得两根x1,x2.当x(,x1)(x2,)时,f(x)0,所以f(x)在(,x1),(x2,)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增当0a2时,有x11x24,所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0,即f(4)0,得x2或x1时,g(x)0,故g(x)在(1,)上是增函数,所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1,故a的取值范围为(,1已知最值求参数的范围典例(2018太原检测)已知函数f(x)3x21(x0),g(x)x39x,若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28,则k的取值范围为_考点题点答案(,3解析f(x)g(x)x33x29x1.令F(x)f(x)g(x),则F(x)3x26x93(x3)(x1),令F(x)0,得x13,x21.当x1时,F(x)0;当