《高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值（第2课时）利用导数研究函数的最值学案（含解析）新人教B版选修1_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章导数及其应用3.3.2利用导数研究函数的极值（第2课时）利用导数研究函数的最值学案（含解析）新人教B版选修1_1（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习目标1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值知识点一函数f(x)在闭区间a，b上的最值函数f(x)在闭区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在a，b上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得特别提醒：(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念(3)函数yf(x)在a，b上连续，是函数yf(x)在a，b上有最大值或最小值的充分不必要条件知识点二求函数yf(x)在a，b上的最值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内
2、的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值知识点三最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象，显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值最大值yMf(x3)f(b
3、)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得1函数的最大值一定是函数的极大值()2开区间上的单调连续函数无最值()3函数f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得()题型一求函数的最值命题角度1不含参数的函数求最值例1求下列各函数的最值(1)f(x)4x33x236x5，x2，)；(2)f(x)xsinx，x0,2考点利用导数求函数的最值题点不含参数的函数求最值解(1)f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x2f(x)00f(x)57由于当x时，f(x)0，所以f(x)在上为增函数因此，函数f(
4、x)在2，)上只有最小值，无最大值(2)f(x)cosx，令f(x)0，又x0,2，解得x或x.计算得f(0)0，f(2)，f，f.所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).反思感悟求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点：(1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值(3)比较极值与端点函数值大小，确定最值跟踪训练1已知函数f(x)lnx，求f(x)在上的最大值和最小值考点题点解易知f(x)的定义域为(0，)，f(x)lnx1lnx，f(x).令f(x)0，得x1.当x变化时，f(x)与f(
5、x)的变化情况如下表：x1(1,2)2f(x)0f(x)1ln2极小值0ln2在上，当x1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)0.又f1ln2，f(2)ln2，ff(2)2ln2(34ln2)ln0，ff(2)，f(x)在上的最大值为f1ln2，最小值为f(1)0.命题角度2含参数的函数求最值例2已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值考点含参数的函数最值问题题点含参数的函数求最值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，k1)k1(k
6、1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，函数f(x)在0,1上单调递增所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k，当0k11，即1k2时，由(1)知f(x)在0，k1)上单调递减，在(k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11，即k2时，函数f(x)在0,1上单调递减所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上可知，当k1时，f(x)mink；当1k2时，f(x)minek1；当k2时，f(x)min(1k)e.反思感悟对参数进行讨论，其实质是讨论导函数
7、大于0，等于0，小于0三种情况若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值跟踪训练2已知函数f(x)lnx.(1)当a0时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考点含参数的函数最值问题题点知最值求参数解函数f(x)lnx的定义域为(0，)，f(x)，(1)a0，故函数在其定义域(0，)上单调递增(2)当x1，e时，分如下情况讨论：当a0，函数f(x)单调递增，其最小值为f(1)a1，这与函数在1，e上的最小值是相矛盾；当a1时，函数f(x)在1，e上单调递增，其最小
8、值为f(1)1，同样与最小值是相矛盾；当1ae时，函数f(x)在1，a)上有f(x)0，f(x)单调递增，所以，函数f(x)的最小值为f(a)lna1，由lna1，得a.当ae时，函数f(x)在1，e上有f(x)0，f(x)单调递减，其最小值为f(e)2，这与最小值是相矛盾；当ae时，显然函数f(x)在1，e上单调递减，其最小值为f(e)12，仍与最小值是相矛盾综上所述，a的值为.题型二由函数的最值求参数例3(2018四川省雅安中学期中)已知函数f(x)ax36ax2b(a0)，问是否存在实数a，b，使f(x)在1,2上取得最大值3，最小值29？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由考点
9、含参数的函数最值问题题点知最值求参数解由题设知a0，由f(x)ax36ax2b，求导得f(x)3ax212ax3ax(x4)，令f(x)0，得x10，x24(舍去)当a0时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.当af(1)，f(2)16a293，解得a2.综上可得，a2，b3或a2，b29.反思感悟已知函数的最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间
10、端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决跟踪训练3设f(x)x3x22ax.当0a2时，f(x)在1,4上的最小值为，则f(x)在该区间上的最大值为_考点题点答案解析f(x)x2x2a，令f(x)0，得两根x1，x2.当x(，x1)(x2，)时，f(x)0，所以f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增当0a2时，有x11x24，所以f(x)在1,4上的最大值为f(x2)又f(4)f(1)6a0，即f(4)0，得x2或x1时，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函数，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范围为(，1已知最值求参数的范围典例(2018太原检测)已知函数f(x)3x21(x0)，g(x)x39x，若函数f(x)g(x)在区间k,2上的最大值为28，则k的取值范围为_考点题点答案(，3解析f(x)g(x)x33x29x1.令F(x)f(x)g(x)，则F(x)3x26x93(x3)(x1)，令F(x)0，得x13，x21.当x1时，F(x)0；当
