《高中数学第7章计数原理7.1两个计数原理讲义含解析湘教选修2_3》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第7章计数原理7.1两个计数原理讲义含解析湘教选修2_3（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、71两个计数原理第一课时分类加法计数原理与分步乘法计数原理读教材填要点1分类加法计数原理如果完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法2分步乘法计数原理如果完成一件事需要分成n个步骤，第一个步骤有m1种不同的方法，第二个步骤有m2种不同的方法，第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2m3mn种不同的方法小问题大思维何时使用分类加法计数原理？何时使用分步乘法计数原理？提示：完成一件事时，若每一类方法中的任一种方法均能将这件事从头到尾完成，则计算完成这件事
2、的方法总数用分类加法计数原理；完成一件事，若每一步的任一种方法只能完成这件事的一部分，而且必须依次完成所有各步后才能完成这件事，则计算完成这件事的方法总数用分步乘法计数原理分类加法计数原理的应用例1甲班有学生56人，其中男生36人；乙班有学生58人，其中女生36人；丙班有学生56人，其中男生35人(1)从这三个班中选一名学生担任学生会主席，有多少种不同的选法？(2)从这三个班的男生中选一人担任学生会体育部部长，有多少种不同的选法？解(1)分3类：从甲班选一名，有56种不同选法；从乙班选一名，有58种不同选法；从丙班选一名，有56种不同选法每一种方法都能独立完成“选一名学生担任学生会主席”这件事
3、，根据分类加法计数原理，共有565856170种不同的选法(2)分3类：从甲班选一名男生，有36种不同选法；从乙班选一名男生，有583622种不同选法；从丙班选一名男生，有35种不同选法根据分类加法计数原理，共有36223593种不同的选法用分类加法计数原理解题应注意以下问题：(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算完成这件事(2)分类计数原理中的“分类”要全面、不能遗漏，但也不能重复、交叉(3)“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，也就是说，完成一件事情，每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法(4)若完成某件事情有n类办法，则它们两两的交集为空
4、集，n类的并集为全集1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解：法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有8765432136(个)法二：按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类加法计数原理，满足条件的两位数共有1234567836(个)分步乘法计数原理的应用例2从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分
5、别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数解(1)三位数有三个数位， 故可分三个步骤完成：第一步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第二步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法依据分步乘法计数原理， 共有43224个满足要求的三位数(2)分三个步骤完成：第一步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第二步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第三步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法故共有23212个三位数的偶数利用分步乘法计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即
6、分步是有先后顺序的(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的或缺一不可的，但也不能重复、交叉(3)若完成某件事情需n步，则必须且只需依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成2乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？解：法一：按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法，第五位置队员的安排只有1种方法由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为37261252.法二：按主力与非主力，分两步安排第一步
7、，安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有6种方法，第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有76种方法由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为676252.两个计数原理的综合问题例3若直线方程AxBy0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解分两类完成第1类，当A或B中有一个为0时，表示的直线为x0或y0，共2条第2类，当A，B不为0时，直线AxBy0被确定需分两步完成第1步，确定A的值，有4种不同的方法；第2步，确定B的值，有3种不同的方法由分步乘法计数原理知，共可确定4312条直线由分类加法计数原理知，方程所表示
8、的不同直线共有21214条利用两个计数原理解题时的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律(3)综合问题一般是先分类再分步3某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？解：若幸运之星在甲箱中抽取，则有3029201
9、7 400种不同的结果；若幸运之星在乙箱中抽取，则有20193011 400种不同的结果故共有17 40011 40028 800种不同结果解题高手易错题某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？尝试错解第一步，从会英语的7人中选一人，有7种选法；第二步，从会日语的3人中选一人，有3种选法，故共有7321(种)不同的选法错因由题目条件可知，外语组共有9人，显然错解误认为会英语的7人，会日语的3人，共10人而忽视了其中有一人既会英语又会日语这一隐含条件，从而导致解题错误由于该题中既会英语又会日语的有1人，而选不选该
10、人对下一步都有影响，所以要进行分类：第一类他不当选；第二类按会英语当选；第三类按会日语当选在每一类中，又要分两步，因此是先分类后分步问题正解“完成一件事”指“从9人中选出会英语与日语的各1人”，故需分三类：既会英语又会日语的不当选；既会英语又会日语的按会英语当选；既会英语又会日语的按会日语当选既会英语又会日语的有7391(人)，仅会英语的有6人，仅会日语的有2人先分类后分步，从仅会英、日语的人中各选1人有62种选法；从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有61种选法；从仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有21种选法根据分类加法计数原理，共有62612120(种)不同选法1某同学从4本不同的科
11、普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有()A24种B9种C3种 D26种解析：选B不同的杂志本数为4329种，从其中任选一本阅读，共有9种选法2(全国卷)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18C12 D9解析：选B由题意可知EF有6种走法，FG有3种走法，由分步乘法计数原理知，共6318种走法3如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数
12、是()A60 B48C36 D24解析：选B长方体的6个表面构成的“平行线面组”有6636(个)，另外含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”有6212(个)，所以共有361248(个)4已知x2,3,7，y3，4,8，则xy可表示不同的值的个数为_解析：分两步：第1步，在集合2,3,7中任取一个值，有3种不同取法；第2步，在集合3，4,8中任取一个值，有3种不同取法故xy可表示339个不同的值答案：95现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为_解析：完成配成一套衣服这件事分两步：第一步选长裤，有3种选法，第二步选上衣，有4种选法，
13、共有3412种不同配法答案：126某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，其余无道路通向山顶(1)某游人从一侧上山，另一侧下山，共有多少种不同的走法？(2)某游人任意选择上山与下山的道路，共有多少种不同的走法？解：(1)分两类：从东侧上山，西侧下山，走法有326(种)；从西侧上山，东侧下山，走法有236(种)，所以共有6612(种)不同的走法(2)法一：完成从上山到下山这件事可分为四类：从东侧上山，且从东侧下山，走法有33种；从东侧上山，从西侧下山，走法有32种；从西侧上山，从东侧下山，走法有23种；从西侧上山，且从西侧下山，走法有22种根据分类加法计数原理知，共有3
14、332232225(种)不同的走法法二：上山共有5条道路，下山也有5条道路，由分步乘法计数原理得从上山到下山共有5525(种)不同的走法一、选择题1从3名女同学和2名男同学中选出一人主持本班一次班会，则不同的选法种数为()A6B5C3 D2答案：B2在2,3,5,7,11这五个数字中，任取两个数字组成分数，其中假分数的个数为()A20 B10C5 D24解析：选B假分数的分子大于分母故以2为分母的有4个；以3为分母的有3个；以5为分母的有2个；以7为分母的只有1个由分类加法计数原理知共有432110个3从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数a，b组成复数abi，其中虚数有()A30个 B42个C36个 D35个解析：选C要完成这件事可分两步，第一步确定b(b0)有6种方法，第二步确定a有6种方法，故由分步乘法计数原理知共有6636个虚数4已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为()A40 B16C1
