《高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5曲线与方程讲义含解析湘教选修2_1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第2章圆锥曲线与方程2.5曲线与方程讲义含解析湘教选修2_1（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、25曲线与方程第一课时曲线与方程读教材填要点曲线的方程、方程的曲线一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下关系：点在曲线上点的坐标满足方程即：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点此时，方程叫曲线的方程，曲线叫方程的曲线小问题大思维1如果曲线C的方程是f(x，y)0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0，则点P在曲线f(x，y)0上，点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0
2、)0.2“曲线的方程”与“方程的曲线”有什么区别？提示：“曲线的方程”强调的是图形表示的数量关系而“方程的曲线”则强调的是数量关系表示的图形曲线的方程与方程的曲线的概念 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线与方程|x|2之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系自主解答(1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2的解；但以方程|x|2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上因此，|x|2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方
3、程(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5；但以方程xy5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.判定曲线和方程的对应关系的策略(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”，称为纯粹性(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性注意只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方
4、程是曲线的方程1命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”是真命题，下列命题中正确的是()A方程f(x，y)0的曲线是CB方程f(x，y)0的曲线不一定是CCf(x，y)0是曲线C的方程D以方程f(x，y)0的解为坐标的点都在曲线C上解析：“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”，但“以方程f(x，y)0的解为坐标的点”不一定在曲线C上，故A、C、D都不正确，B正确答案：B用直接法求曲线方程 已知点M与x轴的距离和点M与点F(0,4)的距离相等，求点M的轨迹方程自主解答设动点M的坐标为(x，y)，且M到x轴的距离为d，那么M属于集合M|d|MF|由距离公式得|y|，整理得x2
5、8y160，即yx22.所求点M的轨迹方程是yx22.把本例中的“x轴”改为“直线x4”，求点M的轨迹方程解：设动点M的坐标为(x，y)，则|x4|，整理得xy2y，点M的轨迹方程为xy.利用直接法求轨迹方程，即直接根据已知等量关系，列出x，y之间的关系式，构成F(x，y)0，从而得出所求动点的轨迹方程要注意求轨迹方程时去杂点，找漏点2已知两点A(0,1)，B(1,0)，且|MA|2|MB|，求动点M的轨迹方程解：设点M的坐标为(x，y)，由两点间距离公式， 得|MA| ，|MB|.又|MA|2|MB|，2.两边平方，并整理得3x23y22y8x30，即所求轨迹方程为22.用定义法求曲线方程如
6、图，在圆C：(x1)2y225及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于M，求点M的轨迹方程自主解答由垂直平分线性质可知|MQ|MA|，|CM|MA|CM|MQ|CQ|.|CM|MA|5.M点轨迹为椭圆由椭圆的定义知：a，c1，b2a2c21.所求轨迹方程为：1.如果动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可依据定义结合条件写出动点的轨迹方程利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义特征3已知B，C是两个定点，|BC|6，且ABC的周长等于16，求顶点A的轨迹方程解：如图，建立直角坐标系，使x轴经过点B，C，原点O与BC的中点重合由已知|AB|AC|BC|16，|BC|6，|AB|AC|1
7、0|BC|6.即点A的轨迹是椭圆，且2c6,2a10.c3，a5，b2a2c225916.但当点A在直线BC上，即y0时，A，B，C三点不能构成三角形点A的轨迹方程是1(y0)用相关点法求曲线方程 已知圆x2y29，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP，点M在PP上，并且2，求点M的轨迹自主解答设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0x，y03y.因为P(x0，y0)在圆x2y29上，所以xy9.将x0x，y03y代入，得x29y29，即y21.所以点M的轨迹是一个椭圆若将“点M在PP上，并且2”改为“点M在直线PP上，并且 (0)”，则M点的轨迹是什么？解：设M(x，y
8、)，P(x0，y0)，PPx轴，且|PM|PP|，xx0，yy0，即x0x，y02y.点P(x0，y0)在圆x2y29上，xy9.把x0x，y02y代入上式得，1.所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆此类题的解题步骤是先设出点P和M的坐标，根据条件写出P点与M点的坐标之间的关系，然后用M点的坐标表示P点的坐标，并代入P点的坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程动点M与曲线上的点P称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法4已知点A是椭圆y21上任意一点，O为坐标原点，求线段OA的中点P的轨迹方程解：设P(x，y)，A(x1，y1)，P为OA中点，x，y，x12x，y1
9、2y.又点A在椭圆上，y1.(2y)21.1即为所求点P的轨迹方程解题高手多解题条条大路通罗马，换一个思路试一试如图，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程解法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，M为AB中点，A(2x,0)，B(0,2y)l1l2，且l1，l2过点P(2,4)，PAPB.kPAkPB1.kPA(x1)，kPB，1，即x2y50(x1)当x1时，A(2,0)，B(0,4)此时AB中点M的坐标为(1,2)，它也满足方程x2y50，所求点M的轨迹方程为x2y50.法二：设M(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y
10、)，l1l2，PAB为直角三角形，|PM|AB|.即.化简得x2y50，所求点M的轨迹方程为x2y50.1已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上，那么()A曲线C上的点的坐标都适合方程f(x，y)0B凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在C上C不在C上的点的坐标必不适合f(x，y)0D不在C上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0解析：设满足方程f(x，y)0的点组成的集合为M，曲线C上的所有点组成集合N，由题意可知MN.答案：C2下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()解析：对于A，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除A；对于B，点(1，1)满足
11、方程，但不在曲线上，排除B；对于C，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除C.答案：D3下列方程中与方程x2y0表示同一曲线的是()A|x|0B.1Cx2|y|0D2ln xln y0解析：根据曲线与方程的关系，若两个方程表示同一曲线，则其方程在形式上必须能统一，且其中的变量范围也必须一致本题中的方程x2y0表示顶点在原点，且开口向上的抛物线C项方程中，yR，即yx2表示两条抛物线，A、B、D三项中的方程都能化为x2y0.但在B项中y0，它表示一条除去顶点的抛物线；D项中有x0，y0，它表示抛物线在y轴右侧部分答案：A4到点F(2,0)和y轴的距离相等的点的轨迹方程是_解析：设M
12、(x，y)为轨迹上任意一点，则|x|，(x2)2y2x2.即y24x4.答案：y24(x1)5由动点P向圆x2y21引两条切线PA，PB，切点分别为A，B，APB60，则动点P的轨迹方程为_解析：易求|PO|2，故P点的轨迹方程为x2y24.答案：x2y246已知线段AB与CD互相垂直且平分于点O，且|AB|4，|CD|8，动点P满足|PA|PB|PC|PD|，求动点P的轨迹方程解：如图所示，分别以CD，AB所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系则O(0,0)，C(4,0)，D(4,0)，A(0，2)，B(0,2)设动点P(x，y)，则由|PA|PB|PC|PD|，得.化简，得x2y26.此为所
13、求动点P的轨迹方程一、选择题1直角坐标系内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是()A|x|y|1B|xy|1C|x|y|1D|xy|1解析：设M(x，y)为平面直角坐标系内的任意一点，则点M到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|.由题意知|x|y|1.答案：C2已知M(2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是()Ax2y22Bx2y24Cx2y22(x)Dx2y24(x2)解析：设P(x，y)，因为MPN为以MN为斜边的直角三角形，MP2NP2MN2，(x2)2y2(x2)2y216.整理得，x2y24.M，N，P不共线，x2.轨迹方程为x2y24(x2)答案：D3已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于()AB4C8D9解析：设P(x，y)，代入|PA|2|PB|，得(x2)2y24(x1)2y2，即(x2)2y24，所求的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4.答案：B4已知log2x，log2
