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1、苏州五中2018-2019学年第二学期期中调研测试高二数学（理科）2019.4一、填空题（本大题共14小题,每小题5分,计70分.不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1.已知复数，若，则实数a=2.已知，则实数n的值为 3.二项式的展开式中第5项的二项式系数为（用数字作答）4.已知是虚数单位，复数对应的点在第象限 5.有4种不同的蔬菜，从中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，则不同的种植方法共种 6.已知直线l的方向向量为，平面的法向量为若，则实数的值为7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 8.已知随机变量X的概率分布为P(Xi)(
2、i1,2,3,4)，则P(22，f(8)，f(16)3，f(32)，则可以归纳出一般结论：当n2时，有 10.某工厂生产10个产品，其中有2个次品，从中任取3个产品进行检测，则3个产品中至多有1个次品的概率为11.在的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于 12.将A，B，C，D，E排成一排,要求在排列中,顺序为“ABC”或“CAB”(可以不相邻),这样的排法有种. (用数字作答)13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色现在有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）14. 祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水
3、平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等利用祖暅原理可以求旋转体的体积如：设半圆方程为，半圆与轴正半轴交于点，作直线，交于点，连接（为原点），利用祖暅原理可得：半圆绕y轴旋转所得半球的体积与绕轴旋转一周形成的几何体的体积相等类比这个方法，可得半椭圆绕轴旋转一周形成的几何体的体积是 二、解答题(共6大题，满分共90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.（本小题满分14分）已知复数在复平面内所对应的点为（1）若复数为纯虚数，求实数的值；（2）若点在第二象限，求实数的取值范围；（3）求的最小值及此时实数的值16.（本小题满分14分）已知，.(1)
4、当时，分别比较与的大小（直接给出结论）；(2) 由(1)猜想与的大小关系，并证明你的结论.17.(本小题满分14分)已知(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项18.（本小题满分16分）如图，已知正四棱锥中，点分别在上，且.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求二面角的余弦值.19.（本小题满分16分）某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动抽奖方案是：顾客从一个装有2个红球，3个黑球，5个白球的袋子里一次取出3只球，且规定抽到一个红球得3分，抽到一个黑
5、球得2分，抽到一个白球得1分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项记某位顾客抽奖一次得分总和为X （1）求该顾客获得最高分的概率；（2）求X的分布列和数学期望20（本小题满分16分）已知.（1）若，求a3的值；（2）求证：；（3）若存在整数k (0k2n)，对任意的整数m (0m2n)，总有成立，这样的k是否唯一？并说明理由。苏州五中2018-2019学年第二学期期中调研测试高二数学（理科）参考答案一、填空题1. ；2.；3. ； 4. 四； 5. 24；6.； 7.；8.； 9. f(2n) (nN*)； 10. ； 11.；12. 13. ；14.二、解答题15解：（1）由2分解得4分注：未舍解
6、的扣2分（2）由6分解得或8分（3）9分令，11分则12分所以当即时，13分有最小值14分16证明 （1）当时， , ,，当时，,，当时，, 。4分(2)猜想：,即.6分下面用数学归纳法证明：当时，上面已证. 7分假设当时，猜想成立，即则当时，10分因为，所以，13分所以，当时猜想也成立综上可知：对，猜想均成立。14分17解(1)CC2C，n221n980.n7或n14，2分当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.T4的系数为C423，T5的系数为C32470，4分当n14时，展开式中二项式系数最大的项是T8.T8的系数为C7273 432.6分(2)CCC79，n2n1560.n1
7、2或n13(舍去)8分设Tk1项的系数最大，1212(14x)12，9.4k10.4，k10.展开式中系数最大的项为T11，13分T11C2210x1016 896x10.14分18.证明：（1）设，交于点，在正四棱锥中，平面.DNMABCP（第18题图）Oxyz，所以. 以为坐标原点，方向分别是轴、轴正方向，建立空间直角坐标系，如图： 2分则，故，所以，所以与所成角的大小为.8分（2），.设是平面的一个法向量，则,，可得令，即， 10分设是平面的一个法向量，则，可得 令，即， 12分，则二面角的余弦值为.16分19解：（1）该顾客抽奖一次，当抽到2个红球1个黑球时，得分总和最高为8分，2分得
8、分为8分的概率为，4分（2）由题意知,袋子中共有10个球,，13分（X=3，4，8时算对一种得1分，X=5,6,7时算对一种得2分）所以X的数学期望.15分答：（1）该顾客获得高分的概率是；（2）X的数学期望为5.1. 16分20. 解：（1）取，有解得，2分此时 4分（2），下面证明：，当时，左=，右=，左 右，命题成立； 6分假设当时，命题成立，有，则时，命题也成立. 由上知，()，即()10分（3）由题意知：是中的最大项，所以，10分令，得，设小于或等于的最大整数为，则当时，故（时取等号）；当时，故14分所以当时，满足条件的正整数有2个，即或；当时，满足条件的正整数只有1个，即16分10
