《高考理数（北京专用）一轮课件：8 第八章 立体几何37_第一节 空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考理数（北京专用）一轮课件：8 第八章 立体几何37_第一节 空间几何体及其三视图、直观图、表面积与体积（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第一节 空间几何体及其三视图 直观 图 表面积与体积 总纲目录 教材研读 1 空间几何体的结构特征 考点突破 2 空间几何体的三视图 3 空间几何体的直观图 考点二 空间几何体的三视图与直观图 考点一 空间几何体的结构特征 4 柱 锥 台 球的表面积和体积 考点三 空间几何体的表面积与体积 教材研读 1 空间几何体的结构特征 2 空间几何体的三视图 1 三视图的形成与名称 i 形成 空间几何体的三视图是由平行投影得到的 在这种投影之下 与 投影面平行的平面图形留下的影子 与平面图形的 形状 和 大 小 是完全相同的 ii 名称 三视图包括 正视图 侧视图 俯视图 2 三视图的画法 i 在画三视
2、图时 重叠的线只画一条 被挡住的线要画成 虚线 ii 三视图的正视图 侧视图 俯视图分别是从几何体的 正前 方 正左 方 正上 方观察到的几何体的正投影图 3 空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用 斜二测 画法来画 其规则如下 1 原图形中x轴 y轴 z轴两两垂直 原点为O 直观图中 相应的x 轴 y 轴满足 x O y 45 或135 O 为原点 z 轴与x 轴和y 轴所在平面 垂直 2 原图形中平行于坐标轴的线段 直观图中仍 平行于坐标轴 平 行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度 不变 平行于y轴的 线段在直观图中 长度为原来的一半 4 柱 锥 台 球的表面积和体积 1 下列说法
3、正确的是 A 有两个面平行 其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B 有两个面平行 其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C 有一个面是多边形 其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D 棱台各侧棱的延长线交于一点 D 答案 D 由棱柱和棱锥的概念可知 A B C均错误 由于棱台是由平 行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分 故棱台各 侧棱的延长线交于一点 2 2017北京顺义二模 4 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的侧 面积为 A 8 B 8 4 C 2 D 4 2 D 答案 D 作出四棱锥的直观图P ABCD 作P在平面ABCD内的投影O 过P作PF BC PE AB 连OE O
4、F 则PF PE S侧面 2 2 4 故选D 3 2015北京 5 5分 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的表面积是 A 2 B 4 C 2 2 D 5 C 答案 C 由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示 其中PA 1 BC 2 取BC的中点M 连接AM MP 则AM 2 AM BC 故AC AB 由正视图和侧视图可知PA 平面ABC 因此可得PC PB PM 所以三棱锥的表面 积为S ABC S PAB S PAC S PBC 2 2 1 1 2 2 2 故选C 4 侧面都是直角三角形的正三棱锥 底面边长为a时 该三棱锥的全面积 是 a2 答案 a2 解析 侧面都是直角三角形 故底面边长
5、为a时 侧棱长等于 a 所以S全 a2 3 a2 5 2016北京 11 5分 某四棱柱的三视图如图所示 则该四棱柱的体积为 答案 解析 由题中三视图将几何体还原到长为2 宽为1 高为1的长方体 中 如图所示 该几何体为四棱柱ABCD A B C D 故该四棱柱的体积V Sh 1 2 1 1 考点一 空间几何体的结构特征 考点突破 典例1 以下命题 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台 圆柱 圆锥 圆台的底面都是圆 一个平面截圆锥 得到一个圆锥和一个圆台 其中正确命题的个数为 A 0 B 1 C 2 D 3 B 答案
6、B 解析 命题 错 这条边若是直角三角形的斜边 则得不到圆锥 命题 错 这条腰必须是垂直于两底边的腰 命题 对 命题 错 用平行于圆锥 底面的平面截圆锥才可以得到一个圆锥和一个圆台 方法技巧 解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 1 要想真正把握几何体的结构特征 必须多角度 全方面地去分析 多 观察实物 提高空间想象能力 2 紧扣结构特征是判断的关键 熟悉空间几何体的结构特征 依据条件 构建几何模型 在条件不变的情况下 变换模型中的线面关系或增加 线 面等基本元素 然后依据题意判定 3 通过反例对结构特征进行辨析 即要说明一个命题是错误的 只要举 出一个反例即可 1 1 如果四棱锥的四条侧棱
7、都相等 就称它为 等腰四棱锥 四条侧 棱称为它的腰 以下四个命题中 假命题是 A 等腰四棱锥 的腰与底面所成的角都相等 B 等腰四棱锥 的侧面与底面所成的二面角都相等或互补 C 等腰四棱锥 的底面四边形必存在外接圆 D 等腰四棱锥 的各顶点必在同一球面上 B 答案 B B不正确 反例见下图 等腰四棱锥 S ABCD中 底面ABCD为矩形 AB 4 BC 2 O为S在平面 ABCD上的射影 OE AB于E OF BC于F OE OF 1 2 又易知 1与 2不互补 等腰四棱锥 S ABCD的侧面SAB与底面所成的二面角和侧面SBC 与底面所成的二面角既不相等 也不互补 1 2 给出下列四个命题
8、有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 底面为正多边形 且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为 答案 解析 对于 平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形 故 错 对于 对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明 如图 故 错 对于 若底 面不是矩形 则 错 由线面垂直的判定 可知侧棱垂直于底面 故 正 确 综上 命题 不正确 典例2 1 2017北京 7 5分 某四棱锥的三视图如图所示 则该四棱锥的 最长棱的长度为 A 3 B 2 C 2 D 2 2 如图 矩形O A B C 是水平放置的一个平面图形的直观图 其中O A
9、 6 考点二 空间几何体的三视图与直观图 B cm O C 2 cm 则原图形是 A 正方形 B 矩形 C 菱形 D 一般的平行四边形 C 答案 1 B 2 C 解析 1 本题考查空间几何体的三视图 考查空间想象能力 根据三视图可得该四棱锥的直观图 四棱锥P ABCD 如图所示 将该四 棱锥放入棱长为2的正方体中 由图可知该四棱锥的最长棱为PD PD 2 故选B 2 将直观图还原得 OABC 如图 因为O D O C 2 cm 所以OD 2O D 4 cm 因为C D O C 2 cm 所以CD 2 cm 所以OC 6 cm 所以OA O A 6 cm OC 故原图形为菱形 方法技巧 1 解决
10、三视图问题的方法 1 对柱 锥 台 球的三视图要熟悉 2 明确三视图的形成原理 并能结合空间想象将三视图还原为直观图 3 画三视图时要遵循 长对正 高平齐 宽相等 的原则 2 原图与直观图中的 三变 与 三不变 1 三变 2 三不变 2 1 一个几何体的三视图如图所示 那么该几何体中最长棱的长为 A 2 B 2 C 3 D C 答案 C 该几何体的直观图如图所示 其中AE 2 DE 2 BC 1 BE 2 AE BE AE DE BE CB AB 2 AD 2 过C作CF DE于点F 易知四边形BCFE为矩形 CD BC BE BC AE BE AE E BC 平面ABE BC AB AC 3
11、 即最长棱AC 3 典例3 1 2017北京石景山一模 6 某三棱锥的三视图如图所示 则该 三棱锥的表面积是 A 2 B 2 2 C 4 D 5 考点三 空间几何体的表面积与体积 B 2 2017北京东城一模 6 某三棱锥的三视图如图所示 则该三棱锥的体 积为 A B C 1 D D 答案 1 B 2 D 解析 1 该三棱锥的直观图如图所示 三棱锥P ABM 其可由棱长分别 为2 2 1的长方体截得 其中S ABM 2 S PMA S PMB S PAB 故该三棱 锥的表面积为2 2 2 2 2 三棱锥D1 B1BE如图所示 该三棱锥可由棱长为2的正方体ABCD A1B1 C1D1截得 其中E
12、为CC1的中点 故 D1C1 2 方法技巧 1 解决组合体问题的关键是分清该组合体是由哪些简单的几何体组成 的 以及这些简单的几何体的组合方式 2 由三视图求几何体的表面积 体积时 关键是由三视图还原几何体 同 时还需掌握求体积的常用方法 如 割补法和等价转化法 3 1 一个几何体的三视图如图所示 那么这个几何体的表面积是 A 16 2 B 16 2 C 20 2 D 20 2 B 答案 B 由题中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四 棱柱 其底面面积为 1 2 2 3 底面周长为2 2 1 5 高为2 故四棱柱的表面积为S 2 3 5 2 16 2 3 2 某三棱锥的三视图如图所示
13、则该三棱锥的体积是 A B C 1 D A 答案 A 该三棱锥的直观图如图所示 其中CD 1 BC 2 CD BC 且点A到底面 BCD的距离为1 底面积S BCD 1 2 1 VA BCD 1 1 故选A 典例4 1 已知A B是球O的球面上两点 AOB 90 C为该球面上的 动点 若三棱锥O ABC体积的最大值为36 则球O的表面积为 A 36 B 64 C 144 D 256 2 在封闭的直三棱柱ABC A1B1C1内有一个体积为V的球 若AB BC AB 6 BC 8 AA1 3 则V的最大值是 A 4 B C 6 D 考点四 球与几何体的切 接问题 C B 答案 1 C 2 B 解析
14、 1 S OAB是定值 且VO ABC VC OAB 当OC 平面OAB时 VC OAB最 大 即VO ABC最大 设球O的半径为R 则 VO ABC max R2 R R3 36 R 6 球O的表面积S 4 R2 4 62 144 2 易知AC 10 设底面 ABC的内切圆的半径为r 则 6 8 6 8 10 r 所以r 2 因为2r 4 3 所以最大球的直径2R 3 即R 此时球的体积 V R3 故选B 方法技巧 空间几何体与球接 切问题的求解方法 1 求解球与棱柱 棱锥的接 切问题时 一般过球心及接 切点作截 面 把空间问题转化为平面图形问题 再利用平面几何知识寻找几何中 元素间的关系求
15、解 2 若球面上四点P A B C所连的三条线段PA PB PC两两互相垂直 且PA a PB b PC c 一般把有关图形 补形 成一个球内接长方体 利用4R2 a2 b2 c2 R为球的半径 求解 4 1 一个六棱柱的底面是正六边形 侧棱垂直于底面 所有棱的长都为 1 顶点都在同一个球面上 则该球的体积为 A 20 B C 5 D D 答案 D 解法一 以正六棱柱的一个最大对角面作截面 如图 设球心 为O 正六棱柱的上下底面中心分别为O1 O2 则O是O1O2的中点 O1O2 1 AB 2 则球的直径d 所以球的体积为V 半径R 故球的体积V 解法二 底面正六边形外接圆的半径r 1 球心O到底面的距离为 故球 4 2 已知一个空间几何体的三视图如图所示 且这个空间几何体的所 有顶点都在一个球面上 则球的表面积是 A B C D C 答案 C 由三视图可知 该空间几何体为正三棱柱 且所有棱长均为2 如图所示 取上 下底面三角形的外心为O1 O2 连接O1O2 则线段O1O2 的中点即为该几何体外接球的球心O 连接OA O2A 由等边三角形的性 质知O2A 且OO2 1 在Rt OO2A中 OA2 O O2A2 1 R2 故 球的表面积为S 4 R2 4 故选C 请认请认 真完成作业业 第一节节 空间间几何体及其三视图视图 直观观 图图 表面积积与体积积
