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1、广东省百校2020届高三大联考数学题数学（理）卷注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分.考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上.2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第卷（选择题（共60分）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（ ）A.
2、 B. C. D.2.在复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知是等差数列的前n项和，则（ ）A.46 B.43 C.40 D.374.已知x是第二象限角，则（ ）A. B. C. D.5.函数的图象在点处的切线与直线平行，则实数（ ）A.1 B. C.2 D.6.在古代典籍周易中，长横“”表示阳爻，两个短横“”表示阴爻，有放回地取出阳爻和阴爻六次合成一卦，恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率是（ ）A. B. C. D.7.函数的大致图象是（ ）A. B. C. D.8.若函数的部分图象如图所示，将图象上所有点的横坐标缩短为原
3、来的得到函数的图象，则在上的最小值是（ ）A. B. C. D.9.设直线l经过椭圆的一个上顶点A和右焦点，且与椭圆交于另一点B，若O为坐标原点，的面积为，且，则该椭圆的标准方程是（ ）A. B. C. D.或10.蹴鞠起源于春秋战国，是现代足球的前身.到了唐代，制作的蹴鞠已接近于现代足球，做法是：用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳，在球壳内放一个动物膀胱，“嘘气闭而吹之”，成为充气的球.如图所示，将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体，在几何体内放一个气球，往气球内充气使几何体膨胀，当几何体膨胀成球体（顶点位置不变）且恰好是原几何体外接球时，测得球的体积是，则正三角形的边长为（ ）A.
4、 B. C. D.11.已知函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D.12.已知双曲线的左，右焦点分别为，A，B是双曲线C上的两点，且，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.第卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上）13.已知向量，则_.14.若x，y满足约束条件，则的最大值为_.15.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别为棱，CD的中点，则平面MNP与正方形相交形
5、成的线段的长度为_.16.在各项均为正数的数列中，是数列的前n项和，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为_.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17，（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B为锐角且满足.（1）求角B的大小；（2）若，求的面积.18，（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，O是AD的中点.（1）在线段PA上找一点E，使得平面PCD，并证明；（2）在（1）的条件下，若，求平面OBE
6、与平面POC所成的锐二面角的余弦值.19.（本小题满分12分）某超市新上一种瓶装洗发液，为了打响知名度，举行为期六天的低价促销活动，随着活动的有效开展，第六天该超市对前五天中销售的洗发液进行统计，y表示第x天销售洗发液的瓶数，得到统计表格如下：x12345y46101520（1）若y与x具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测第六天销售该洗发液的瓶数（按四舍五入取到整数）；（2）超市打算第六天加大活动力度，购买洗发液可参加抽奖，中奖者可领取奖金20元，中奖概率为，已知甲、乙两名顾客抽奖中奖与否相互独立，求甲、乙所获得奖金之和X的分布列及数学期望.参
7、考公式：，.20.（本小题满分12分）已知点C是平面直角坐标系中的一个动点，过点C且与y轴垂直的直线与直线交于点M，若向量与向量垂直，其中O为坐标原点.（1）求点C的轨迹方程E；（2）过曲线E的焦点作互相垂直的两条直线分别交曲线E于A，B，P，Q四点，求四边形APBQ的面积的最小值.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的极值点的个数；（2）当函数有两个极值点，时，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴的正半
8、轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是.（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）若点，直线l与曲线C交于A，B两点.求的值.23.（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数，.（1）求不等式的解集；（2）已知，记函数的最小值为M，求证：.参考答案1.【答案】C【解析】集合，集合，.故选C.2.【答案】B【解析】，其在复平面内对应点的坐标为，位于第二象限，故选B.3.【答案】B【解析】由题知，故选B.4.【答案】A【解析】是第二象限角，是第二象限角，故选A.5.【答案】D【解析】由得，由题意得，即，所以.故选D.6.【答案】C【解析】有放回地取阳爻和阴爻六次，有种
9、情况，恰好出现四个阳爻和两个阴爻有种情况，所以恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率.7.【答案】B【解析】因为函数是非奇非偶函数，故排除选项D；因为，故排除选项A；又易知当时，故排除选项C.所以选项B正确.8.【答案】A【解析】由图象知，则，得，即，由图象过点得，得，即，当，得，故选A.9.【答案】D【解析】由，得，即.易知直线l的方程为，即.联立，消去y并化简得，解得或.则，又，结合，解得，或.所以椭圆的标准方程是或.故选D.10.【答案】A【解析】图中的八个全等的正三角形缝制成的空间几何体是正八面体，设正三角形的边长为a，正八面体的外接球的半径为R，则.依题意，所以，整理得，所以.11.【答案
10、】B【解析】作出的图象如图：若函数恰有三个零点，等价为方程有一个解，有两个解；故.12.【答案】C【解析】设，则，在中，由余弦定理得：，解得，在中，得，则该双曲线的渐近线方程为.故选C.13.【答案】【解析】由题知，解得，.14.【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线，平移直线，由图可知，当直线过A时，z取最大值，由解得，所以 .15.【答案】【解析】如图，取BC得中点Q，的中点H，易知，故平面MNP与正方形，的交线是QH，而.16.【答案】【解析】，数列是首项为1公比为3的等比数列，不等式即对恒成立，当且仅当，即时，实A的取值范围为.17.解：（1）由，结合正弦定理得：，（
11、2分）即，又在中，而B为锐角，.（6分）（2），.（8分）化简得，解得.（10分）故的面积为.（12分）18.解：（1）E是线段PA的中点，证明：连接BE，OE，OB，是AD的中点，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，又底面ABCD是直角梯形，又平面PCD，平面PCD，平面PCD，平面OBE，平面OBE，平面平面PCD，又平面OBE，平面PCD.（6分）（2）平面平面ABCD，平面ABCD，且，以O为原点，如图建立空间直角坐标系，（7分）得，得，设是平面OBE的一个法向量，则，得，取，得，（10分）又易知是平面POC的一个法向量，设平面OBE与平面POC所成的锐二面角为，则，即平面OBE与平
12、面POC所成的锐二面角的余弦值为.（12分）19.解：（1）依题意：，（1分）所以，（3分）故所求线性回归方程为.（4分）将代入中，得，故预测第六天销售该洗发液的瓶数为23.（6分）（2）X的可能取值为0，20，40.；.X02040P所以X的数学期望.（12分）20.解：（1）设点.由题意，点，则，.（2分）因为向量与向量垂直，所以.即.故点C的轨迹方程是.（4分）（2）由（1）知，抛物线E的焦点是，设直线，则直线.（5分）联立，消去x得，设，则，.所以.（7分）设点，同理可得.（9分）所以，当且仅当，即时等号成立.即四边形APBQ的面积的最小值为32.（12分）21，解：（1），.设，则.
13、令，解得.当时，；当时，.当时，函数单调递增，没有极值点；当时，且当时，；当时，.当时，有两个零点，即函数有两个极值点.综上，当时，函数的极值点的个数为0；当时，函数的极值点的个数为2.（5分）（2）由（1）知，为的两个实数根，不妨设，在上单调递减.下面先证，只需证.，得，.设，则，在上单调递减，.函数在上也单调递减，.要证，只需证，即证.设函数，则.设，则.在上单调递增，即.在上单调递增，.当时，.（12分）22.解：（1）消去中的t，得直线l的普通方程为；将，代入曲线C的极坐标方程，得曲线C的直角坐标方程为.（5分）（2）将代入，得，设，是上述方程的两根，则，.（10分）23.解：（1）由题知，原不等式，即等价于，解得，不等式的解集为.（5分）（2）由题知，当且仅当时，取等号，.（当且仅当，即时取等号）（10分）
