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1、第二章第二章：控制系统的数学模型控制系统的数学模型授课人：李会军授课人：李会军中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军本章内容提纲本章内容提纲内容提纲内容提纲拉普拉斯变换的基本知识控制系统的数学模型控制系统的典型环节及其传递函数控制系统的结构图信号流图与梅森公式2中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法一般来说，象函数 是拉普拉斯算子 的有理代数分式，可以表示如下： 式中，系数 都是常实数， 是正整数，且 。可以将象函数 的分母进行因式分解，进而写成部分分式之和的形式：其中，
2、 为待定常数(可以是实数，也可是是复数)3中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法当 无重根 称为 在极点 处的留数，计算公式如下： 其中， 是 对 的一阶导数。对 求拉氏变换，可得原函数为：4中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法示例1：求 的原函数解： 将 分母进行因式分解：象函数可以重新变换如下：根据留数定理，可得：可得原函数为：5中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反
3、变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法示例2：求 的原函数解： 将 的分母因式分解为： 的极点为一对共轭复数，仍可以按照例1的方法求解：其中：6中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法系统的原函数为：7中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法如果 的分母是二次多项式，并能配成两项平方和的形式，可以将分母作为一个整体求解： 根据常用函数的拉式变换：可知：8中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院
4、李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法 有重根假设 有 个重根 ，则 可以写为： 其中， 为 的重极点， 为 的 个非重极点； 为待定常数， 可按照无重根的方式求解：9中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法 可按如下方式求出：根据拉式变换 和复域位移定理可知：10中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法示例3：求 的原函数 解： 可知，分母 有4个根，将 展开为部分分式：根据公式： 11中
5、国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换部分分式展开法部分分式展开法 因此，原函数为：12中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程微分方程列写的步骤微分方程列写的步骤根据实际工作情况，确定系统和系统中各元件的输入、输出变量；从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，根据物理、化学定律，列写出各个元件输入输出变量之间的微分方程式；消除中间变量，得到系统输入、输出变量之间的微分方程；对微分方程进行标准化，将与输入有关的各项放到等号的右侧，与输出有关的各
6、项放到等号左侧，并按阶数依次递减排列；13中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程微分方程列写示例微分方程列写示例示例4：列写出如图所示的电路输入电压与输出电压之间的微分方程式解：由基尔霍夫定律可以写出回路方程如下所示： 消除中间变量，并将微分方程进行标准化，则可得电路系统的输入输出关系的微分方程如下所示：14中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程微分方程列写示例微分方程列写示例示例5：列写出如图所示的弹簧系统
7、所受外力和滑块位移之间的微分方程式解：假设滑块的速度和加速度为 ，由牛顿运动 定理可知：其中， 是阻尼力； 是阻尼系数； 是弹簧弹力； 是弹性系数。消去中间变量，将微分方程整理后系统的微分方程为：15中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程线性定常微分方程的求解步骤线性定常微分方程的求解步骤首先，对微分方程两端进行拉普拉斯变换；然后，将给定的初始条件与输入信号带入方程；接着，写出输出量的拉普拉斯变换；最后，通过拉普拉斯反变换求出系统输出的时域解；16中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工
8、程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程线性定常微分方程求解示例线性定常微分方程求解示例示例6：在开关S闭合前，电容上有初始电压 ，求：当开关瞬时闭合后，电容的端电压 。解：当开关S瞬时闭合时，相当于有一个阶跃电压 ， 列出微分方程组如下： 消除中间变量，可得微分方程如下所示： 将微分方程两端进行拉式变换，可得：17中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程线性定常微分方程求解示例线性定常微分方程求解示例解此代数方程可得：展开成部分分式：对上式求解拉普拉斯反变换：18
9、中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的时域数学模型线性系统的时域数学模型微分方程微分方程特解与通解特解与通解 从上式可以看出，前两项是由网络的输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，所以称之为零初始条件响应，也是微分方程的特解；最后一项是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，因此称为零输入响应，是微分方程的通解。19中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的复域数学模型线性系统的复域数学模型传递函数传递函数控制系统时域数学模型的局限性控制系统时域数学模型的局限性 微分方程是描述线性系统的一种基本形式的数学模
10、型。通过对它求解，就可以得到系统在给定输入信号作用下的输出响应。但是，用微分方程式作为系统的数学模型在实际应用中存在如下局限性：如果微分方程的阶次较高(大于3阶)，求解就非常困难，而且相应的计算量也非常大；在对控制系统分析时，不仅要了解系统在给定信号作用下的输出响应，而且更重视系统的结构、参数与其性能间的关系，微分方程数学模型难以满足这样的要求；为了解决这些问题，引入了线性系统的复域数学模型为了解决这些问题，引入了线性系统的复域数学模型传递函数传递函数20中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的复域数学模型线性系统的复域数学模型传递函数传递函数微分方程
11、的一般形式微分方程的一般形式线性定常连续系统的微分方程如下所示：系统输出量 ：系统输入量 ：系统输出量各阶导数的系数 ：系统输入量各阶导数的系数21中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的复域数学模型线性系统的复域数学模型传递函数传递函数微分方程的拉普拉斯变换微分方程的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的微分定理假设系统为零初始条件，即系统变量在零时刻的值及其各阶导数的值均为0，如下所示：将式(3)带入式(2)中，可知零初始条件下拉普拉斯变换的微分定理如下所示：22中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的复域数学模型线性
12、系统的复域数学模型传递函数传递函数从微分方程到传递函数从微分方程到传递函数记系统输入量和输出量的拉普拉斯变换如下所示：在零初始条件下，对式(1)所示的微分方程两端进行拉普拉斯变换：23中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的复域数学模型线性系统的复域数学模型传递函数传递函数从微分方程到传递函数从微分方程到传递函数传递函数定义：在零初始条件下，线性系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比称为系统的传递函数，即： 称为系统输出量对输入量的传递函数 其中：利用传递函数，可将输出量的拉氏变换表示为输入量拉氏变换和传递函数之间的乘积24中国矿业大学中国矿业大学信息
13、与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军线性系统的复域数学模型线性系统的复域数学模型传递函数传递函数传递函数求解示例传递函数求解示例示例7：求解RLC网络输出电压 对输入电压 的传递函数解： RLC无源网络的微分方程如下所示：在零初始条件下，对方程中的各项进行拉普拉斯变换，并令：可得关于拉普拉斯算子 的代数方程如下所示：因此，可得传递函数如下：25中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数求解示例传递函数求解示例传递函数求解示例传递函数求解示例示例8：求弹簧机械系统位移 对压力 的传递函数解： 弹性系统的微分方程如下所示：在零初始条件下，对方程中的各项
14、进行拉普拉斯变换，并令：可得关于拉普拉斯算子 的代数方程如下所示：因此，可得传递函数如下：26中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数的性质传递函数的性质(重点掌握重点掌握)线性定常系统的传递函数具有如下性质线性定常系统的传递函数具有如下性质传递函数的形式只取决于系统的结构和参数，与系统输入输出量的大小和形式无关；传递函数只反映系统在零初始状态下的动态特性；传递函数一般为拉普拉斯算子 的有理分式，它的分母多项式最高阶次 总大于等于其分子多项式的最高阶次 ，即 ；两个完全不同的系统(例如，一个是机械系统，一个是电子系统)，就可以有完全相同的传递函数，这是在
15、实验室进行模拟实验的理论基础；27中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数的特征方程与特征根传递函数的特征方程与特征根特征方程与特征根特征方程与特征根传递函数的一般形式如下所示： 其中： 称为系统的特征方程，特征方程的解称为系统的特征根；特征方程决定着系统的动态特性；当 时， 称为系统的放大系数或增益； 28中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点零点和极点的推导零点和极点的推导系统的传递函数可以进行如下变换： 其中：29中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李
16、会军李会军传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点零点和极点的定义零点和极点的定义 是分子多项式的根，称为传递函数的零点； 是分母多项式的根，称为传递函数的极点； 是传递函数或根轨迹的增益；传递函数的零点和极点既可以是实数，也可以是共轭复数传递函数的零点和极点既可以是实数，也可以是共轭复数30中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点传递函数的零极点分布图：将传递函数的零、极点表示在传递函数的零极点分布图：将传递函数的零、极点表示在复平面复平面上的图形上的图形零点用零点用“O”表示表示极点用极点用“”表示表示31中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点传递函数的零点和极点示例传递函数的零点和极点示例示例9：求解如下传递函数的零极点和根轨迹增益传递函数的零点：传递函数的极点：系统的根轨迹增益：32中国矿业大学中国矿业大学信息与电气工程学院信息与电气工程学院李会军李会军传递函数的零点和极点示例传递函数的零点和极点示例传递函数的零点和极点示例传递函数的零点和极点示例示例10：求解如下传递函数的零极点和根轨迹增益传递函数的零点：传递函数的极点：系统的根轨迹增益：33
