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1、生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。泰戈尔目 录前言 2第一章高中数学解题基本方法 3一、配方法 3 二、换元法 7三、待定系数法 14四、定义法 19五、数学归纳法 23六、参数法 28七、反证法 32八、消去法 九、分析与综合法 十、特殊与一般法 十一、类比与归纳法 十二、观察与实验法 第二章高中数学常用的数学思想 35一、数形结合思想 35二、分类讨论思想 41三、函数与方程思想 47四、转化（化归）思想 54第三章高考热点问题和解题策略 59一、应用问题 59二、探索性问题 65三、选择
2、题解答策略 71四、填空题解答策略 77附录 一、高考数学试卷分析 二、两套高考模拟试卷 三、参考答案 前 言美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：常用数学方法：配方法、换元法、待
3、定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起
4、作用。数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。为了帮助学生掌握解题的金钥匙，掌握解题的思想方法，本书先是介绍高考中常用的数学基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函数与方程思想、数形结
5、合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者：东升高中 高建彪0760-2298253第一章 高中数学解题基本方法一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系
6、，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(ab) a 2abb ，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a b (ab) 2ab(ab) 2ab；a abb (ab) ab(ab) 3ab(a ) （ b） ；a b c abbcca (ab) (bc) (ca)
7、a b c (abc) 2(abbcca)(abc) 2(abbcca)结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1sin212sincos（sincos） ；x (x ) 2(x ) 2 ； 等等。、再现性题组：1. 在正项等比数列a 中，a sa +2a sa +a a =25，则 a a _。2. 方程x y 4kx2y5k0表示圆的充要条件是_。 A. k1 B. k1 C. kR D. k 或k13. 已知sin cos 1，则sincos的值为_。 A. 1 B. 1 C. 1或1 D. 04. 函数ylog (2x 5x3)的单调递增区间是_。 A. （, B. ,+
8、) C. ( , D. ,3)5. 已知方程x +(a-2)x+a-1=0的两根x 、x ，则点P(x ,x )在圆x +y =4上，则实数a_。【简解】 1小题：利用等比数列性质a a a ，将已知等式左边后配方（a a ） 易求。答案是：5。 2小题：配方成圆的标准方程形式(xa) (yb) r ，解r 0即可，选B。 3小题：已知等式经配方成(sin cos ) 2sin cos 1，求出sincos，然后求出所求式的平方值，再开方求解。选C。4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选D。5小题：答案3 。、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其1
9、2条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_。 A. 2 B. C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z，则 ,而欲求对角线长 ，将其配凑成两已知式的组合形式可得。【解】设长方体长宽高分别为x,y,z，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得： 。长方体所求对角线长为： 5所以选B。【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。例2. 设方程x kx2=0的两实根为p、q，若(
10、) +( ) 7成立，求实数k的取值范围。【解】方程x kx2=0的两实根为p、q，由韦达定理得：pqk，pq2 ,( ) +( ) 7， 解得k 或k 。又 p、q为方程x kx2=0的两实根， k 80即k2 或k2 综合起来，k的取值范围是： k 或者 k 。【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到pq、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成pq与pq的组合式。假如本题不对“”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和
11、重视。例3. 设非零复数a、b满足a abb =0，求( ) ( ) 。【分析】 对已知式可以联想：变形为( ) ( )10，则 （为1的立方虚根）；或配方为(ab) ab 。则代入所求式即得。【解】由a abb =0变形得：( ) ( )10 ，设 ，则 10，可知为1的立方虚根，所以： ， 1。又由a abb =0变形得：(ab) ab ，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 。【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用的性质，计算表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。【另解】由a abb 0变形得：( ) (
12、 )10 ，解出 后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式( ) ( ) 后，完成后面的运算。此方法用于只是未 联想到时进行解题。假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a abb 0解出：a b，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。、巩固性题组：1.函数y(xa) (xb) （a、b为常数）的最小值为_。A. 8 B. C. D.最小值不存在2.、是方程x 2axa60的两实根，则(-1) +(-1) 的最小值是_。A. B. 8 C. 18 D.不存在3.已知x、yR ，且满足x3y10，则函数t2 8 有_。A.最大值2 B.最大值 C.最小值2 B.最小值 4.椭圆x 2ax3y a 60的一个焦点在直线xy40上，则a_。A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 2或65.化简：2 的结果是_。A. 2sin4 B. 2sin44cos4 C. 2sin4 D. 4cos42sin4 6. 设F 和F 为双曲线 y 1的两个焦点，点P在双曲线上且满足F PF 90，则F P
