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1、1不等式的概念与性质导学目标: 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.理解不等式的性质,会应用不等式的性质解决与范围有关的问题自主梳理1不等关系不等关系与等量关系一样,也是自然界中存在的基本数量关系,它们在现实世界和日常生活中大量存在不等关系可分为常量与_间的不等关系(如 30),变量与_间的不等关系(如 x5),函数与_之间的不等关系(如 x212x)等2不等式用_(如“”“” “”等)连接两个代数式而成的式子叫做不等式,其中用“”连接的不等式叫做严格不等式;用“” “”连接的不等式叫做非严格不等式不等式可分为绝对不等式(不论用什么实数代替不等式中的字母,不
2、等式都能成立)、条件不等式(只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母,不等式才能够成立)、矛盾不等式(不论用什么样的实数代替不等式中的字母,不等式都不能成立)3两个实数大小的比较(1)作差法:设 a,bR,则 aba b0, a0, b0,则 ab_,ab_;(2)传递性: ab, bc_;(3)加法性质: ab_;推论: ab, cd_;(4)乘法性质: ab, c0_;推论: ab0, cd0_;(5)乘方性质: ab0_;(6)开方性质: ab0_;(7)倒数性质: ab, ab0_.自我检测1(2011大纲全国)下面四个条件中,使 ab 成立的充分而不必要的条件是()A ab1 B a
3、b1C a2b2 D a3b32若 a, b 是任意实数,且 ab,则()A a2b2 B. 0 D. a0, b0,则以下不等式中不一定成立的是()A 2ab baBln( ab1)0C a2 b222 a2 bD a3 b32 ab24(2011上海)若 a, bR,且 ab0,则下列不等式中,恒成立的是()A a2 b22ab B a b2 ab2C. D. 21a 1b 2ab ba ab5(2010安徽)若 a0, b0, a b2,则下列不等式对一切满足条件的 a, b 恒成立的是_(写出所有正确命题的序号) ab1; ; a2 b22; a3 b33; 2.a b 21a 1b探
4、究点一数与式的大小比较例 1(1)设 x2 时,比较 cn与 an bn的大小变式迁移 1已知 a2, b2,试比较 a b 与 ab 的大小探究点二不等式性质的简单应用例 2下面的推理过程Error!acbd ,其中错误之处的个数是()adbcA0B1C2D3变式迁移 2(2011许昌月考)若 a B. 1a1b 1a b1aC| a|b| D a2b2探究点三求字母或代数式范围问题例 3(1)已知 12ac B c(b a)02若 ab0,则下列不等式中恒成立的是()A B a bbab 1a 1 1a 1bC a b D. 1b 1a 2a ba 2bab3(2011金华模拟)已知 ab
5、,则下列不等式一定成立的是()Alg alg b B a2b2C. 2b1a1b4(2011舟山七校联考)若 a 和 均不能成立1a1b 1|a| 1|b|B. 和 均不能成立1a b1b 1|a| 1|b|C不等式 和 2 2均不能成立1a b1a (a 1b) (b 1a)D不等式 和 20, bc ad0, 0(其中 a, b, c, d 均为实数),用其中ca db两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,可组成的正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3二、填空题(每小题 4 分,共 12 分)46若 xy1,且 0logay; x ay a;log xa0b, cb
6、 d2; b cd c.其中正确命题的序号是_8已知 0,试比较 与 .ab2 ba2 1a 1b10(12 分)比较 aabb与 abba(a, b 为不相等的正数)的大小11(14 分)已知 a0, a22 ab c20, bca2.试比较 a, b, c 的大小学案 33不等式的概念与性质自主梳理1常量常量函数2.不等号3.(2) 14.(1)bc(3)acbcab5acbd(4)acbcacbd(5)a nbn (nN 且 n2)(6) (nN 且 n2)nanb(7) 0, x y0.( x2 y2)(x y)(x2 y2)(x y)方法二 xy2, x y(x2 y2)(x y)(
7、2) a, b, c正实数, an, bn, cn0.而 n n.an bncn (ac) (bc) a2 b2 c2,则 2 21,(ac) (bc)02, n2, b2, a11, b11.( a1)( b1)10. ab( a b)0. aba b.方法二(作商法) ,a bab 1b 1a且 a2, b2, 40, a bbacbc, cdbcbd 都是对不等式两边同乘一实数,只有当该实数为正数时,不等号才不改变方向,故这两步都错误;由于不等式具有传递性,所以得出6acbd 是正确的,由 acbd 是对不等式 acbd 两边同除 cd,由于不知 cd 的正、负,adbc故这一步也是错误
8、的变式迁移 2B a0.取倒数,则有 ,选项 A 正确1a1b a|b|和 a2b2两个不等式均成立,选项 C、D 正确对于 B, ,1a b 1a ba a b又 a0, ccabac, b 可能为 0,故 A 正确Error!c(b a)0,故 B 错误Error!ac(a c)b0, ab0, .1b1a a b .故选 C.1b 1a3D只有指数函数 y2 x在 R 上为增函数,所以 D 正确而 A、C 显然不是对于一切实数都成立的,B 的等价条件是| a|b|,显然也错误4D a 有1a b 1b 2b a a b b 1a b1b可能成立;又 a|b|0,则有 不成立1|a| 1|
9、b| 1|a| 1|b|5D由 ab0, bc ad0,即 bcad,得 ,即 0;cadb ca db由 ab0, 0,即 ,ca db cadb得 bcad,即 bc ad0;由 bc ad0, 0,ca db即 0,得 ab0;bc adab故可组成 3 个正确的命题63解析 xy1,0ya0, x a .1logax 1logay即 logxalogya,也不成立7解析 ad0, add20.由已知 ab,同向不等式相加得 a c2b d2,故正确;对于结论, d c0, b c 的正、负不确定,故不正确8. ( 2, 2) 2, 0)解析 0,( a b)20, 0. a b a b
10、 2a2b2 .(12 分)ab2 ba2 1a 1b10解 aa bbb a a b,(4 分)aabbabba (ab)当 ab0 时, 1, a b0,ab a b1;(8 分)(ab)当 01.(11 分)(ab)综上所述,当 a, b 为不相等的正数时,总有 aabbabba.(12 分)11解 bca20, b, c 同号(2 分)又 a2 c20, a0, b 0.a2 c22a c0.(4 分)由( a c)22 ab2 ac2 a(b c)0, b c0.(6 分)当 b c0,即 bc 时,由Error! ca2(a c)(2a2 ac c2)0, b0, c0,2 a2 ac c20. a ca2, b2a2,即 b a.又 a22 ab c2( a b)20 a b 与 a b 矛盾, b c0.综上,可知 acb.(14 分)