概率统考试卷及答案(A)05.1

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1、1 概率统计 (A) 试卷2005 年 1 月 时间 100 分钟教师 学院 班级 姓名 序号题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分得分阅卷人1.55 0.9394, 0.05 7,8 3.50F ， 0.05 8,7 3.73,F 0.05 15 1.7531t一、简答题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分，答题时必须写出必要的过程或理由）1 已知 , , ,P A a P B b P A B c 求 ,P AB P A B 。 2在 4 次重复独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 6581，求在一次试验中事件 A出现的概率。3设随机变量 X 的分布函数为20, 0,

2、0 11, 1xF x x xx现 在 对 X 独 立 重 复 观 察 4 次 ， 求 有 3 次 落 入 0.25, 0.75内 的 概 率 。 4 设 随 机 变 量2 2 , , 0,2X N Y N 相互独立，求 P X Y 。5 已知随机变量 X 的可能取值为 1,0,1 , 且 1.0)( XE , 89.0)(XD , 求 X 的分布律 . 6 设 随 机 变 量 ,X Y 的 协 方 差 矩 阵 为 12C ， 求 D a X b Y。 7 设 总 体2 0 ,X N ，1 2 3 4 5, , , ,X X X X X 是 X 的样本，统计量2 21 2 3 4 5Y a X

3、 X b X X X ， （ 0ab ）服从 2 分布，求参数 ,a b 的值和 Y 的分布的自由度。8从正态总体 2 (3.4, 6 )X N 中抽取容量为 n的样本 , 要使样本均值落在区间 （ 1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95, 问样本容量 n 应满足什么条件？9设 1 2, , , nX X X 是总体 X 的样本， 为常数，判断下列统计量中哪些是参数 的无2 偏估计量。11 niiX Xn ， 22111niiS X Xn ， 21X S 。 二、 （本题满分 12 分） 在电报通讯中不断发出信号 0和 1， 统计资料表明， 发出 0和 1的概率分别为 0.6 和 0.4

4、， 由于存在干扰，发出 0时，分别以概率 0.7 和 0.1 接收到 0和 1，以 0.2 的概率收为模糊信号 x；发出 1时，分别以概率 0.85 和 0.05 收到 1和 0，以概率 0.1 收到模糊信号 x。（ 1）求收到模糊信号 x的概率；（ 2）当收到模糊信号 x时，以译成哪个信号为好？为什么？三、 （ 本题满分 8分） 设随机变量 X 具有概率密度 )(xf X （ x ） ， 求 2XY 的概率密度 ( )Yf y 。四、 （本题满分 12 分） 设二维随机变量 ,X Y 的概率密度为, 0 ,( , )0, .ye x yf x y 其它（ 1）求 ,X Y 的边缘概率密度 ,

5、X Yf x f y ；（ 2）求 ,Cov X Y 。五、 （本题满分 10 分） 在次品率为 16的一大批产品中，任意抽取 300 件产品，试用中心极限定理计算所抽取的产品中次品数在 40 与 60 之间的概率。六、 （本题满分 10 分） 设总体 X 的概率密度为22 , 0,( ; )0, 0.xxe xf xx其中 0 为未知参数。 nXXX , 21 是 X 的样本 , 求参数 的最大似然估计量 ?。七、 （本题满分 12 分） 设某种产品来自甲、乙两个厂家，为考查产品性能的差异，现从甲乙两厂产品中分别抽取了 8 件和 9 件产品，测其性能指标 X，得到两组数据，经对其作相应运算得

6、21 10.190, 0.006,x s22 20.238, 0.008x s假设测定结果服从正态分布 2 , 1,2i iX i 。（ 1）在检验水平为 0.10条件下，能否认为 2 21 2 ？（ 2）求 1 2 的置信度为 90%的置信区间，并对结果加以说明。 1.96 0.9753 概 率 论 与 数 理 统 计 (A)答案及评分标准1.96 0.975, 1.55 0.9394, 0.05 7,8 3.50F ， 0.05 8,7 3.73,F 0.05 15 1.7531t一、简答题（本题共 9 小题，每小题 4 分，满分 36 分，答题时必须写出必要的过程或理由）1 已知 , ,

7、 ,P A a P B b P A B c 求 ,P AB P A B 。解 P A B P A P B P A B a b cP AB P A P AB a a b c c b1 1P AB P A B P A B c1P AB c bP A BbP B2在 4 次重复独立试验中，事件 A 至少出现一次的概率为 6581 ，求在一次试验中事件 A出现的概率。解 设 P A p ，则1P A P A至少出现一次 在每次试验中都不出现 4 651 1 81p13p3设随机变量 X 的分布函数为20, 0, 0 11, 1xF x x xx现在对 X 独立重复观察 4 次，求有 3 次落入 0.2

8、5, 0.75 内的概率。解 9 1 10.25 0.75 0.75 0.2516 16 2P X F F设 Y 表示对 X 的 4 次独立重复观察中事件 0.25 0.75X 出现的次数，则 4,1/ 2Y b ，因此3341 13 1/ 2 1 1/ 2 416 4P Y C4设随机变量 2 2 , , 0, 2X N Y N 相互独立，求 P X Y 。4 解 因为 2 2 , , 0,2X N Y N 相互独立，所以 2 ,3X Y N ，从而1023P X Y5 已知随机变量 X 的可能取值为 1,0,1 , 且 1.0)( XE , 89.0)(XD , 求 X 的分布律 . 解

9、设 X 的分布律为 kk pxXP )3,2,1(k , 由131kkp , 1.0)( XE , 9.0)()()(22 XEXDXE , 可得关于 321 , ppp 的方程组.9.0,1.0,13131321ppppppp解得 4.01p , 1.02p , 5.03p , 所以 X 的分布律为1 0 10.4 0.1 0.5X6设随机变量 ,X Y 的协方差矩阵为 12C ，求 D aX bY 。解 1 2, , ,D X D Y Cov X Y2 2 2 ,D aX bY a D X b D Y abCov X Y2 21 2 2a b ab7设总体 2 0,X N ， 1 2 3

10、4 5, , , ,X X X X X 是 X 的样本，统计量2 21 2 3 4 5Y a X X b X X X ， （ 0ab ）服从 2 分布，求参数 ,a b 的值和 Y 的分布的自由度。解 由 2 0,X N ，得5 2 21 2 3 4 5 0, 2 , 0,3X X N X X X N且相互独立，即3 4 51 2 0,1 , 0,12 3X X XX X N N ，且相互独立。于是2 21 2 3 4 52 22 2 1 , 12 3X X X X X且相互独立。所以当 2 21 1,2 3a b 时，2 2 21 2 3 4 5 2Y a X X b X X X该分布的自由

11、度为 2。8从正态总体 2 (3.4, 6 )X N 中抽取容量为 n 的样本 , 要使样本均值落在区间 （ 1.4, 5.4）内的概率不小于 0.95, 问样本容量 n 应满足什么条件？解 )1,0(/64.3 NnX , 从而有4.54.1 XP 62/64.324.3 nnXPXP = 95.0132n , 由此得 9613 .n , 即 57.34)396.1( 2n , 所以 n 至少取 35. 9设 1 2, , , nX X X 是总体 X 的样本， 为常数，判断下列统计量中哪些是参数 的无偏估计量。11 niiX Xn ， 22111niiS X Xn ， 21X S 。解 由

12、 )(X ，得 )( XE ， )( XD ，所以ninii nXEnXE111)(1)( ；6 nnXDnXDninii12121)(1)( ；nii XEnnXEnSE 1222 )(1)(11)(ni nnnn 122 )(1)(112 21 1 1E X S E X E S因此11 niiX Xn ， 22111niiS X Xn ， 21X S 都是参数 的无偏估计量。二、 （本题满分 12 分） 在电报通讯中不断发出信号 0和 1 ，统计资料表明，发出 0和 1的概率分别为 0.6 和 0.4 ，由于存在干扰，发出 0时，分别以概率 0.7 和 0.1 接收到 0和 1 ，以 0.

13、2 的概率收为模糊信号 x ；发出 1时，分别以概率 0.85 和 0.05 收到 1和 0 ，以概率0.1 收到模糊信号 x 。（ 1）求收到模糊信号 x的概率；（ 2）当收到模糊信号 x时，以译成哪个信号为好？为什么？解 设 iA =“发出信号 i ” )1,0(i ， iB =“收到信号 i ” ),1,0( xi 。由题意知6.0)( 0AP ， 4.0)( 1AP ， 2.0)|( 0ABP x ， 1.0)|( 1ABP x 。（ 1）由全概率公式得)()|()()|()( 1100 APABPAPABPBP xxx 4 分16.04.01.06.02.0 。 2 分（ 2）由贝叶

14、斯公式得75.016.0 6.02.0)( )()|()|( 000xxx BPAPABPBAP ， 3 分25.075.01)|(1)|( 01 xx BAPBAP 3 分三、 （本题满分 8 分） 设随机变量 X 具有概率密度 )(xf X （ x ） ，求 2XY 的概率密度 ( )Yf y 。解 先求 Y 的分布函数 )( 2 yXPyFY 。由于 02XY ，故7 当 0y 时， 0)(yFY ，当 0y 时，有)( 2 yXPyYPyFYyy X dxxfyXyP )(yXyX dxxfdxxf 00 )()( 。 4 分于是得 Y 的概率密度为.0,0,0),()(21)()(

15、yyyfyfyyFyf XXYY4 分四、 （本题满分 12 分） 设二维随机变量 ,X Y 的概率密度为, 0 ,( , )0, .ye x yf x y 其它（ 1）求 ,X Y 的边缘概率密度 ,X Yf x f y ；（ 2）求 ,Cov X Y 。解 （ 1） ,X Y 的边缘概率密度分别为, 0,0, 0y xxX e dy e xf x f x y dyx3 分0 , 0,0, 0y y yYe dx ye yf y f x y dxy3 分（ 2）0 1xXE X xf x dx xe dx20 2yYE Y yf y dy y e dy30 0 01, 32y y yE XY xyf x y dxdy dy xye dx y e dy3 分, 3 2 1Cov X Y E XY E X E Y 3 分8 五、 （本题满分 10 分） 在次品率为 16的一大批产品中，任意抽取 300 件产品，试用中心极限定理计算所抽取的产品中次品数在 40 与 60 之间的概率。解 设 X 为 所 抽 取 的 产 品 中 次 品 数 ， 由 题 意 知 1 3 0 0 ,6X b， 所 求 概 率 为40 60P X ，由中心极限定理，得 3 分130040 50 60 50640 60125 / 3 125 /