《高等数学教学课件第七版 12 2 常数项级数的审敛法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学教学课件第七版 12 2 常数项级数的审敛法（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二讲 常数项级数的审敛法 常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 一 正项级数及其审敛法 一 收敛的充要条件 二 比较判别法 三 达朗贝尔判别法与柯西判别法 一 正项级数及其审敛法 一 收敛的充要条件 二 比较判别法 三 达朗贝尔判别法与柯西判别法 正项级数收敛部分和序列有界 若则称 为正项级数 定理1 一 正项级数及其审敛法 一 收敛的充要条件 二 比较判别法 三 达朗贝尔判别法与柯西判别法 一 正项级数及其审敛法 一 收敛的充要条件 二 比较判别
2、法 三 达朗贝尔判别法与柯西判别法 则有 1 若则收敛 收敛 2 若则发散 发散 设是两个正项级数 且存在对一切 有 k 0 比较判别法 u例1讨论 p 级数 常数 p 0 的敛散性 u例2讨论 下列级数的敛散性 1 2 比较判别法的极限形式 u例3 讨论 下列级数的敛散性 1 2 则有 两个级数同时收敛或发散 2 若 l 0 3 若 l 设两正项级数满足 1 若 0 l 则 收敛 收敛 则 发散 发散 p 判别法 u例4 讨论下列级数的敛散性 1 2 则 2 若 l 0 3 若 l 设正项级数满足 1 若 0 l 1收敛 0 p1 0 p 1 3 一 正项级数及其审敛法 一 收敛的充要条件
3、二 比较判别法 三 达朗贝尔判别法与柯西判别法 一 正项级数及其审敛法 一 收敛的充要条件 二 比较判别法 三 达朗贝尔判别法与柯西判别法 设 为正项级数 且 则 1 当 时 级数收敛 2 当或时 级数发散 达朗贝尔 d Alembert 判别法 比值审敛法 若级数可能收敛也可能发散 l 注 u 例5 讨论下列级数的敛散性 1 2 3 4 5 柯西 Cauchy 判别法 根植审敛法 设 为正项级数 且 则 1 当 时 级数收敛 2 当时 级数发散 若级数可能收敛也可能发散 l 注 u 例6 讨论下列级数的敛散性 1 2 柯西判别法比达朗贝尔判别法更有效 达朗贝尔判别法比柯西判别法更实用 常数项
4、级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 如果交错级数满足条件 交错级数 则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 设 莱不尼茨判别法 u 例7 讨论下列交错级数的敛散性 1 2 3 那么级数收敛 且其和 其余项 的绝对值 常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 常数项级数的审敛法 一 正项级数及其审敛法 二 交错级数及其审敛法 三 绝对收敛与条件收敛 对任意项级数 若收敛 收敛 则 定理 定义 对任意项级数 若收敛 绝对收敛 则称 l注 若发散 不一定发散 收敛 若发散 条件收敛 则称 而 但若用达朗贝尔判别法或柯西判别法判定发散 则因 必发散 u例7 讨论下列级数的敛散性 3 绝对收敛级数的性质 1 2 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛 且与原级数有相同的和 即绝对收敛级数具有可交换性 其和分别为 和 则它们的柯西乘积 设级数与都绝对收敛 也是绝对收敛的 且其和为
