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1、工程应用数学B创新实训课堂 合肥学院数理系大学数学教研室 曲线拟合 实训课堂目的1 直观了解拟合基本内容2 掌握用Matlab求解拟合问题3 通过对实际问题的分析和研究 初步掌握建立数据拟合数学模型的方法 实训课堂内容1 拟合问题引例及基本理论2 用数学软件求解拟合问题3 应用实例4 自主学习内容 据人口统计年鉴 知我国从1997年至2006年人口数据资料如下 人口数单位为 百万 1 在直角坐标系上作出人口数的图象 2 建立人口数与年份的函数关系 并估算2015年的人口数 1 1拟合问题引例 一 曲线拟合 线性模型 如何确定a b 曲线拟合问题的提出 已知一组 二维 数据 即平面上n个点 xi
2、 yi i 1 n 寻求一个函数 曲线 y f x 使f x 在某种准则下与所有数据点最为接近 即曲线拟合得最好 y f x i为点 xi yi 与曲线y f x 的距离 1 2拟合的基本原理 确定f x 使得 达到最小 用什么样的曲线拟合已知数据 常用的曲线函数系类型 通过理论分析建立数学模型来确定f x 通过作图直观判断确定f x 指数曲线 双曲线 一支 多项式 直线 拟合函数组中系数的确定 MATLAB 4 m clearclcx 1949 5 1994y 541 67602 66672 09704 99806 71908 59975 421034 751106 761176 74 a1
3、1 sum x 2 a12 sum x a21 a12 a22 10 d1 sum x y d2 sum y A a11 a12 a21 a22 D d1 d2 a1a2 inv A D 1 作多项式f x a1xm amx am 1拟合 可利用已有程序 a polyfit x y m 2 多项式在x处的值y可用以下命令计算 y polyval a x 线性最小二乘拟合 二 用MATLAB解拟合问题 对下面一组数据作二次多项式拟合 1 输入以下命令 x 0 0 1 1 y 0 4471 9783 286 167 087 347 669 569 489 3011 2 A polyfit x y
4、2 z polyval A x plot x y k x z r 作出数据点和拟合曲线的图形 2 计算结果 9 810820 1293 0 0317 解 用多项式拟合的命令 MATLAB zxec2 补充 对该观测数据点进一步拟合 分别用3次和6次多项式曲线拟合这些数据点 x 0 0 1 1y 0 447 1 978 3 28 6 16 7 08 7 34 7 66 9 56 9 48 9 3 11 2 plot x y k markersize 25 axis 01 3 216 x的坐标范围是0到1 3 y的范围是 2到16p3 polyfit x y 3 p6 polyfit x y 6
5、编写Matlab程序如下 t 0 0 1 1 2s polyval p3 t s1 polyval p6 t holdonplot t s r linewidth 2 plot t s1 b linewidth 2 grid x 0 0 1 1y 0 447 1 978 3 28 6 16 7 08 7 34 7 66 9 56 9 48 9 3 11 2 plot x y k markersize 25 axis 01 3 216 p3 polyfit x y 3 p6 polyfit x y 6 MATLAB dianzu1 例1电阻问题 得到a1 3 3940 a2 702 4918 三
6、 应用问题实例 例2用切削机床进行金属品加工时 为了适当地调整机床 需要测定刀具的磨损速度 在一定的时间测量刀具的厚度 得数据如表所示 解 描出散点图 在命令窗口输入 t 0 1 16 y 30 029 128 428 128 027 727 527 227 026 826 526 326 125 725 324 824 0 plot t y 解 描出散点图 在命令窗口输入 t 0 1 16 y 30 029 128 428 128 027 727 527 227 026 826 526 326 125 725 324 824 0 plot t y a 0 301229 3804 holdon
7、 plot t y1 holdoff a polyfit t y 1 y1 0 3012 t 29 3804 拟合曲线为 y 0 3012t 29 3804 一室模型 将整个机体看作一个房室 称中心室 室内血药浓度是均匀的 快速静脉注射后 浓度立即上升 然后迅速下降 当浓度太低时 达不到预期的治疗效果 当浓度太高 又可能导致药物中毒或副作用太强 临床上 每种药物有一个最小有效浓度c1和一个最大有效浓度c2 设计给药方案时 要使血药浓度保持在c1 c2之间 一种新药用于临床之前 必须设计给药方案 药物进入机体后血液输送到全身 在这个过程中不断地被吸收 分布 代谢 最终排出体外 药物在血液中的浓度
8、 即单位体积血液中的药物含量 称为血药浓度 例3给药方案问题 本题设c1 10 c2 25 ug ml 要设计给药方案 必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律 从实验和理论两方面着手 给药方案 近似直线关系 即c t 有按负指数规律减少的趋势 给药方案 1 在快速静脉注射的给药方式下 研究血药浓度 单位体积血液中的药物含量 的变化规律 问题 2 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度 设计给药方案 每次注射剂量多大 间隔时间多长 分析 理论 用一室模型研究血药浓度变化规律 实验 对血药浓度数据作拟合 符合负指数变化规律 3 血液容积v t 0注射剂量d 血药浓度立即为d v 2 药物排除速率与血
9、药浓度成正比 比例系数k 0 模型假设 1 机体看作一个房室 室内血药浓度均匀 即为一室模型 模型建立 在此 d 300mg t及c t 在某些点处的值见前表 需经拟合求出参数k v 用线性最小二乘法拟合c t MATLAB lihe1 计算结果 给药方案设计 设每次注射剂量D 间隔时间 血药浓度c t 应c1 c t c2 给药方案记为 2 1 计算结果 c1 10 c2 25k 0 2347v 15 02 故可制定给药方案 即 首次注射375mg 其余每次注射225mg 注射的间隔时间为4小时 1 已知观测数据点如表所示 求用三次多项式进行拟合的曲线方程 三 实验作业 在实际应用中常见的拟
10、合曲线有 直线 多项式 一般n 2 3 不宜过高 双曲线 一支 指数曲线 四 自主学习内容 非线性曲线拟合 lsqcurvefit 功能 x lsqcurvefit fun x0 xdata ydata x resnorm lsqcurvefit fun x0 xdata ydata 根据给定的数据xdata ydata 对应点的横 纵坐标 按函数文件fun给定的函数 以x0为初值作最小二乘拟合 返回函数fun中的系数向量x和残差的平方和resnorm 例4已知观测数据点如表所示 求三个参数a b c的值 使得曲线f x aex bx2 cx3与已知数据点在最小二乘意义上充分接近 首先编写存储
11、拟合函数的函数文件 functionf nihehanshu x xdata f x 1 exp xdata x 2 xdata 2 x 3 xdata 3 保存为文件nihehanshu m 例4已知观测数据点如表所示 x y 0 3 1 0 1 3 27 0 2 3 81 0 3 4 5 0 4 5 18 0 5 6 0 6 7 05 0 7 8 56 0 8 9 69 0 9 11 25 1 13 17 求三个参数a b c的值 使得曲线f x aex bx2 cx3与已知数据点在最小二乘意义上充分接近 编写下面的程序调用拟合函数 xdata 0 0 1 1 ydata 3 1 3 27
12、 3 81 4 5 5 18 6 7 05 8 56 9 69 11 25 13 17 x0 0 0 0 x resnorm lsqcurvefit nihehanshu x0 xdata ydata 编写下面的程序调用拟合函数 xdata 0 0 1 1 ydata 3 1 3 27 3 81 4 5 5 18 6 7 05 8 56 9 69 11 25 13 17 x0 0 0 0 x resnorm lsqcurvefit nihehanshu x0 xdata ydata 程序运行后显示 x 3 00224 03040 9404 resnorm 0 0912 例4已知观测数据点如表所
13、示 x y 0 3 1 0 1 3 27 0 2 3 81 0 3 4 5 0 4 5 18 0 5 6 0 6 7 05 0 7 8 56 0 8 9 69 0 9 11 25 1 13 17 求三个参数a b c的值 使得曲线f x aex bx2 cx3与已知数据点在最小二乘意义上充分接近 说明 最小二乘意义上的最佳拟合函数为 f x 3ex 4 03x2 0 94x3 此时的残差是 0 0912 f x 3ex 4 03x2 0 94x3 拟合函数为 练习 1 已知观测数据点如表所示 求a b c的值 使得曲线f x aex bsinx clnx与已知数据点在最小二乘意义上充分接近 2 用给定的多项式 如y x3 6x2 5x 3 产生一组数据 xi yi i 1 2 n 再在yi上添加随机干扰 可用rand产生 0 1 均匀分布随机数 或用rands产生N 0 1 分布随机数 然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合 与原系数比较 如果作2或4次多项式拟合 结果如何 3 用电压V 10伏的电池给电容器充电 电容器上t时刻的电压为 其中V0是电容器的初始电压 是充电常数 试由下面一组t V数据确定V0 谢谢大家
