《小学四年级奥数第28讲：构造与论证之奇偶分析（一）习题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学四年级奥数第28讲：构造与论证之奇偶分析（一）习题（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、使学习渐入 加 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 1 构造与论证之奇偶性分析构造与论证之奇偶性分析练习题练习题 一 一 夯实基础夯实基础 1 小华买了一本共有 96 张练习纸的练习本 并依次将它的各面编号 即由第 1 面一直编 到第 192 面 小丽从该练习本中撕下其中 25 张纸 并将写在它们上面的 50 个编号相 加 试问 小丽所加得的和数能否为 2000 2 在8个房间中 有7个房间开着灯 1个房间关着灯 如果每次拨动4个不同房间的开关 能不能把全部房间的灯都关上 为什么 3 桌子上有6只开口向上的杯子 每次同时翻动其中的5只杯子 问能否经过若干次翻动 使得全部杯子的开口全都向
2、下 4 某市五年级 99 名同学参加数学竞赛 竞赛题共 30 道 评分标准是基础分 15 分 答对 一道加 5 分 不答记 1 分 答错一道倒扣 1 分 问 所有参赛同学得分总和是奇数还是 偶数 使学习渐入 加 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 2 二 二 拓展拓展提高 提高 5 有 30 枚 2 分硬币和 8 枚 5 分硬币 5 角以内共有 49 种不同的币值 哪几种币值不能由 上面 38 枚硬币组成 6 育英小学三年级学生正在进行某种棋类比赛 规定 胜者得 1 分 败者扣 1 分 若为平 局 则双方各得 0 分 每两个人之间都要赛一局 其中 小明得了 9 分 小红得了 10 分
3、小明对小红说 这次比赛真巧 居然没有平局 小红说 你骗人 那么多场比 赛 怎么可能没有平局呢 同学们 请问你认为是否有平局呢 请通过分析进行说明 7 在 99 枚外观相同的硬币中 要找出其中的某些伪币 已知每枚伪币与真币的重均相差 奇数克 而所给硬币的总重量恰等于 99 枚真币的重量 今有能标明两盘重量之差的天 平 证明 只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否伪币 8 桌上放着 5 张卡片 小月在卡片的正面写上 1 2 3 4 5 然后冬冬在背面分别写上 1 2 3 4 5 写完后计算每张卡片上两书之和 再把 5 个和相乘 问 东东能否找 到一种写法 使得最后的乘积是奇数 为什么 9 有一
4、本500页的书 从中任意撕下40张纸 这40张纸上的所有页码之和能否是1999 使学习渐入 加 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 3 三三 超常挑战超常挑战 10 在 8 8 的棋盘的左下角放有 9 枚棋子 组成一个 3 3 的正方形 如左下图 规定每 枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格 即可以以它旁边的棋子为中心 作对称运动 可以横跳 竖跳或沿着斜线跳 如右下图的 1 号棋子可以跳到 2 3 4 号 位置 问 这些棋子能否跳到棋盘的右上角 填满右上角 3 3 的正方形 11 有 20 个 1 升的容器 分别盛有 1 2 3 20 立方厘米水 允许由容器 A 向容器 B
5、 倒进与 B 容器内相同的水 在 A 中的水不少于 B 中水的条件下 问 在若干次倒水以 后能否使其中 11 个容器中各有 11 立方厘米的水 12 现有足够多的苹果 梨 桔子三种水果 最少要分成多少堆 每堆都有苹果 梨和桔子 三种水果 才能保证找得到这样的两堆 把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数 13 设标有 A B C D E F G 的 7 盏灯顺次排成一行 每盏灯安装一个开关 现在 A C D G 这 4 盏灯亮着 其余 3 盏灯没亮 小华从灯 A 开始顺次拉动开关 即从 A 到 G 再 从 A 开始顺次拉动开关 他一共拉了 999 下开关后 哪些灯亮着 哪些灯没亮 使学习渐入 加
6、 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 4 14 在 a b c三个数中 有一个是 2006 一个是 2007 一个是 2008 问 1 2 3 abc 是 奇数还是偶数 三 三 杯赛杯赛演练演练 15 中环杯 有编号 1 30 的 30 枚硬币正面朝上放在桌子上 先将编号为 3 的倍数的硬币 翻个身 再将编号为 4 的倍数的硬币翻个身 最后仍有多少个硬币正面朝上 16 小机灵杯 在一张 9 行 9 列的方格纸上 把每个方格所在的行数和列数加起来 填在 这个方格中 例如5 38a 在填入的 81 个数中 奇数多还是偶数多 a 123 4 56 7 8 9 98 7 6 5 4 3 2 1
7、 使学习渐入 加 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 5 答案 1 由于每一张上的两数之和都为奇数 而 25 个奇数之和为奇数 故不可能为 2000 2 按要求每次拨动4个不同房间的开关 而4是偶数 所以 这样的一次操作 拨动房间 开关次数是偶数 那么经过有限次拨动后 拨动各房间开关次数总和是偶数 可是 要使7个房间的灯由开变为关 需要拨动各个房间开关奇数次 第8个房间的开 关仍为管 需要这个房间拨动开关偶数次 这样 需要拨动开关的总次数是奇数个奇数 与一个偶数的和 是奇数 所以按照要求不能把全部房间的灯关上 3 杯子要翻过来得翻奇数次 6个杯子都要翻过来 则总共需要翻动 6 奇数 偶
8、数次杯 子 按规定每次同时翻动5只杯子 因为5是奇数 由奇数 偶数 偶数可知 要想翻 动总次数也是偶数 需要将5只杯子翻动偶数次 因此有可能经过有限次翻动 使得全 部杯子的开口全都向下 老师一定要给学生构造出一种满足题目要求的翻法 并告知学生这是此类回答 能 的 题目中必须的 当然 这种构造方式不是唯一的 4 对每个参赛同学来说 每题都答对共可得 165 分 是奇数 如答错一题 就要从 165 分 中减去 6 分 不管错几道 6 的倍数都是偶数 165 减去偶数 差还是奇数 同样道理 如有一题不答 就要减去 4 分 并且不管有几道题不答 4 的倍数都是偶数 因此 从 总分中减去的仍是偶数 所以
9、每个同学的得分为奇数 而奇数个奇数之和仍为奇数 所以 99 名同学得分总和一定是奇数 5 当币值为偶数时 可以用若干枚 2 分硬币组成 当币值为奇数时 除 1 分和 3 分这两种币值外 其余的都可以用 1 枚 5 分和若干枚 2 分硬币组成 所以 5 角以下的不同币值 只有 1 分和 3 分这两种币值不能由题目给出的 硬币组成 6 考点 奇偶分析与反证法 设 9 分者胜 X 局 负 Y 局 10 分者胜 M 局 负 N 局 则有 X Y 9 M N 10 假设没有 1 次平局 那么由于比赛局数相同 得到 X Y M N X Y M N 为偶数 另一方面 因 为 X Y 9 X 和 Y 两个数奇
10、偶性不同 两者之和为奇数 又因为 M N 10 可知 M 和 N 奇 偶性相同 那么 M N 为偶数 得出的结果是 X Y M N 之和为奇数 矛盾 说明没有平 局的假设不成立 所以 比赛过程中至少有一次平局 所以 一定有平局 7 已知每枚伪币与真币的重均相差奇数克 99 个硬币总重量恰等于 99 枚真币的重量 说 明伪币数为偶数 如果拿出 1 个真币 剩下的 98 个里还是有偶数个伪币 随便分成两 部分放天平上 重量之差必为偶数 如果拿出 1 个伪币 剩下的 98 个里是有奇数个伪 币 随便分成两部分放天平上 重量之差必为奇数 所以 只要把 98 个硬币分两部分在天平上称 显示出的重量差只要
11、是奇数 拿出来的 那个一定是伪币 8 不可以 因为计算每张卡片上两书之和 再把 5 个和相乘 如果得到一个乘积是奇数的 使学习渐入 加 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 6 话 那么这 5 个和必须都是奇数 但是这 5 个和之和等于 12345230 五 个奇数之和不可能是 30 9 每张纸上的两个页码之和是奇数 偶数 奇数 则40个奇数的和是偶数 即 40 张纸的所有页码之和是偶数 而1999是一个奇数 任何一个奇数不等于偶数 所以这20张纸上的所有页码之和不可能是1999 10 自左下角起 每一个方格可以用一组数 行标 列标 来表示 自下而上 第 i 行 自 左而右 第 j 列的
12、方格记为 i j 问题的关键是考虑 9 枚棋子 所在方格 的列标 的和 S 一方面 每跳一次 S 增加 0 或偶数 因而 S 的奇偶性不变 另一方面 右上角 9 个方 格的列标的和比左下角 9 个方格的列标之和大3 678 3 123 45 这是一 个奇数 综合以上两方面可知 9 枚棋子不能跳至右上角的那个 3 3 的正方形里 11 在倒水以后 含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的 事实上以 偶 偶 偶 奇 奇 奇 来表示两个分别盛有偶数及偶数 偶数及奇数 奇数及奇数立方厘米水的容 器 于是在题中条件限制下 在倒水后 偶 偶 仍为 偶 偶 而 偶 奇 会成 为 偶 奇 或 奇 偶 奇 奇 却成
13、为 偶 偶 在任何情况下 盛奇数立方 厘米水的容器没有多出来 因为开始时有 10 个容器里盛有奇数立方厘米的水 所以不会出现有 11 个盛有奇数立方 厘米水的容器 12 当每堆都含有三种水果时 三种水果的奇偶情况如下表 可见 三种水果的奇偶情况共有 8 种可能 所以必须最少分成 9 堆 才能保证有两堆的 三种水果的奇偶性完全相同 把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数 13 一盏灯的开关被拉动奇数次后 将改变原来的状态 即亮的变成熄的 熄的变成亮的 而一盏灯的开关被拉动偶数次后 不改变原来的状态 由于9977 1425 因此 灯 A B C D E 各被拉动 143 次开关 灯 F G 各被拉动 142 次开关 所以 当 小华拉动 999 次后 B E G 亮 而 A C D F 熄 14 a b c 三个数中有一个奇数和两个偶数 则 a 1 和 c 3 中必有一组为偶数 奇数 其结果是奇数 所以 1 2 3 abc 是偶数 使学习渐入 加 境 让思维 海 阔天空 兰海 姜付加 吴忠 7 15 正面朝上的硬币包括所有没有翻过的硬币和被翻过两遍的硬币 30以内3的倍数有10 个 4的 倍 数 有7个 3和4的 倍 数 有2个 所 以 正 面 朝 上 的 硬 币 有 301072217 个 16 81 个数中 奇数有 40 个 偶数有 41 个 偶数多
