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1、第第 4 4 章章 偏微分方程的数值方法偏微分方程的数值方法 在自然科学和工程技术中的许多物理问题 都可以用微分方程来描述 虽在自然科学和工程技术中的许多物理问题 都可以用微分方程来描述 虽 然大学的高等数学课程里研究了一些特殊常微分方程的解析求解 但是在实际然大学的高等数学课程里研究了一些特殊常微分方程的解析求解 但是在实际 应用中大量的微分方程是无法确定其解析解的 本章和下一章将介绍常微分方应用中大量的微分方程是无法确定其解析解的 本章和下一章将介绍常微分方 程的数值方法 偏微分方程数值求解的思想 程的数值方法 偏微分方程数值求解的思想 3 13 1 微分方程数值方法的有关概念微分方程数值
2、方法的有关概念 首先介绍微分方程的定义与分类 首先介绍微分方程的定义与分类 含有自变量 未知函数及其导数 微分或偏导数 的方程称为微分方程 含有自变量 未知函数及其导数 微分或偏导数 的方程称为微分方程 如果未知函数只含有一个变量 则称为常微分方程 如果未知函数含有若如果未知函数只含有一个变量 则称为常微分方程 如果未知函数含有若 干个变量 则称为偏微分方程 微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶干个变量 则称为偏微分方程 微分方程中未知函数的导数或偏导数的最高阶 次称为微分方程的阶 次称为微分方程的阶 例如 微分方程例如 微分方程 3 1 13 1 1 dy aby t dt 是一阶常微分
3、方程 而是一阶常微分方程 而 3 1 23 1 2 22 2 22 u x tu x t a tx 是二阶偏微分方程 是二阶偏微分方程 所有使微分方程成为等式的函数 所有使微分方程成为等式的函数 都是微分方程的解都是微分方程的解 在在 n n 阶微分方程中阶微分方程中 将微分方将微分方 程的具有程的具有 n n 个任意常数的解称为该微分方程的通解 为确定微分个任意常数的解称为该微分方程的通解 为确定微分 方程通解中的任意常数而列出的条件称为定解条件 定解条件可以分为初始条方程通解中的任意常数而列出的条件称为定解条件 定解条件可以分为初始条 件和边界条件两类 由微分方程和定解件和边界条件两类 由
4、微分方程和定解 条件一起构成的问题称为微分方程条件一起构成的问题称为微分方程 定解问题 定解问题 根据定解条件的不同 常微分方程分为初值问题和边值问题 若定解条件根据定解条件的不同 常微分方程分为初值问题和边值问题 若定解条件 是描述函数在是描述函数在 一点 或初始点 处状态的 则称为初值问题 一阶常微分方程初值问题的一一点 或初始点 处状态的 则称为初值问题 一阶常微分方程初值问题的一 般形式为 般形式为 3 1 33 1 3 0 dy yxf x yaxb dx y ay 若定解条件描述了函数在至少两点 或边界 处状态的称为边值问题 例如若定解条件描述了函数在至少两点 或边界 处状态的称为
5、边值问题 例如 3 1 43 1 4 2 2 ab d y yxf x y yaxb dx y ayy by 微分方程的解有解析解与数值解两种 微分方程的解有解析解与数值解两种 由于实际问题中大多数微分方程无法求出解析解 或难以其用初等函数表由于实际问题中大多数微分方程无法求出解析解 或难以其用初等函数表 示解析解 同示解析解 同 时在应用过程中 一般只需要得到若干特定点处的函数值 因此微分方程数值时在应用过程中 一般只需要得到若干特定点处的函数值 因此微分方程数值 解法是科学与解法是科学与 工程计算中的一个重要内容 工程计算中的一个重要内容 由于微分方程数值解是一组离散点处的未知函数值 所以
6、求数值解的基本由于微分方程数值解是一组离散点处的未知函数值 所以求数值解的基本 步骤为 步骤为 首先将整个定义域分成若干小块 以便对每小块上的点或片求出近似值 首先将整个定义域分成若干小块 以便对每小块上的点或片求出近似值 这样按一定规这样按一定规 律对定义域分割的过程称为区域剖分 律对定义域分割的过程称为区域剖分 其次根据微分方程的形式 构造关于上述离散点或片的函数值递推公式或其次根据微分方程的形式 构造关于上述离散点或片的函数值递推公式或 方程 该步骤方程 该步骤 称为微分方程的离散 这样未知量不再是一个连续函数 而是由若干个未知函称为微分方程的离散 这样未知量不再是一个连续函数 而是由若
7、干个未知函 数值所构成 数值所构成 微分方程离散后得到的递推关系式 需要给定若干个初值才能启动 如果微分方程离散后得到的递推关系式 需要给定若干个初值才能启动 如果 递推式是一个递推式是一个 线性方程组 一般它所含的方程个数要少于未知量的个数 必须补充若干个方线性方程组 一般它所含的方程个数要少于未知量的个数 必须补充若干个方 程后才可求程后才可求 解 这些方程可以通过将微分方程的初始条件或边界条件离散后获得 这一过解 这些方程可以通过将微分方程的初始条件或边界条件离散后获得 这一过 程称为初始或程称为初始或 边界条件的离散 边界条件的离散 经过上面的三个离散化过程 原来的微分方程定解问题就变
8、为离散系统的经过上面的三个离散化过程 原来的微分方程定解问题就变为离散系统的 求解问题 在求解问题 在 求解之前需要讨论离散系统解的存在唯一性问题 离散系统与微分方程问题之求解之前需要讨论离散系统解的存在唯一性问题 离散系统与微分方程问题之 间的差异 即间的差异 即 解的收敛性问题 还需要研究解的收敛速度和计算的稳定性等问题 解的收敛性问题 还需要研究解的收敛速度和计算的稳定性等问题 最后进行实际计算 通过求解离散系统问题 得到微分方程定解问题的数最后进行实际计算 通过求解离散系统问题 得到微分方程定解问题的数 值解 值解 应用数学方法解决实际问题可以分为两个阶段应用数学方法解决实际问题可以分
9、为两个阶段 一是对实际问题进行分析一是对实际问题进行分析 假设 并建假设 并建 立数学模型立数学模型 二是根据数学模型的特点 选择适当的数值方法 确定模型的解二是根据数学模型的特点 选择适当的数值方法 确定模型的解 数值方法的数值方法的 误差主要有以下四个来源 误差主要有以下四个来源 模型误差将实际问题归结为数学模型时 需要对问题作一定的简化和假 模型误差将实际问题归结为数学模型时 需要对问题作一定的简化和假 设 由此设 由此 产生数学模型与实际问题之间的误差 产生数学模型与实际问题之间的误差 观测误差数学模型中的一些系数 观测误差数学模型中的一些系数 初值等常数源于测量仪器或统计资料初值等常
10、数源于测量仪器或统计资料 由于客由于客 观条件和仪器精度的限制而产生的误差 观条件和仪器精度的限制而产生的误差 截断误差数学模型离散化时往往舍去一些次要的项 这将导致数学模型 截断误差数学模型离散化时往往舍去一些次要的项 这将导致数学模型 解与离散解与离散 问题解之间产生的误差 问题解之间产生的误差 舍人误差利用计算机根据结定的数值方法求解离散问题时 由于计算机 舍人误差利用计算机根据结定的数值方法求解离散问题时 由于计算机 对所运算对所运算 的对象按一定字长进行四舍五人的对象按一定字长进行四舍五人 将导致问题数值解与离散问题解之间的误差将导致问题数值解与离散问题解之间的误差 本章主要关注微分
11、方程离散化过程中产生的截断误差 本章主要关注微分方程离散化过程中产生的截断误差 3 23 2 初值问题的数值方法初值问题的数值方法 本节讨论求解常微分方程 组 初值问题 本节讨论求解常微分方程 组 初值问题 3 2 13 2 1 的数值方法 的数值方法 3 2 13 2 1 0 u tf t uatb u au 先研究最简单最直观的求解初值问题的先研究最简单最直观的求解初值问题的 EulerEuler 方法 然后介绍两类更有效方法 然后介绍两类更有效 的方法 的方法 RungeRunge KuttaKutta 方法和线性多步方法 方法和线性多步方法 3 2 13 2 1 EulerEuler
12、法法 由于微分方程的数值解只需要计算在由于微分方程的数值解只需要计算在N N 1 1个节点个节点处微分方处微分方 0 1 k tkN 程解的近似值程解的近似值 所以先对初值问题所以先对初值问题 3 2 13 2 1 的求解区间的求解区间进行剖分进行剖分 以得到以得到 a b 计 算 节 点 一 般 将 求 解 区 间计 算 节 点 一 般 将 求 解 区 间均 匀 分 成均 匀 分 成 N N 等 份 即 得 到 的 节 点等 份 即 得 到 的 节 点 a b 满足 满足 01N atttb 3 2 23 2 2 0 1 2 k takh kN hbaN EulerEuler 方法的具体计算
13、公式 可以由三种不同的方法推导得到 方法的具体计算公式 可以由三种不同的方法推导得到 1 1 差商近似方法 差商近似方法 将初值问题 将初值问题 3 2 13 2 1 在节点 在节点处的导数处的导数用前向差商代替 用前向差商代替 k t k u t 3 2 33 2 3 1 kk k u tu t u t h 记记 则微分方程 则微分方程 3 2 13 2 1 近似写成 近似写成 kk uu t 3 2 43 2 4 1 kkkk uuhf tu 由初始条件由初始条件出发 逐步计算得到出发 逐步计算得到 式 式 3 2 43 2 4 称为显式称为显式 00 uu t 12 N u uu Eul
14、Eulerer 公式 公式 显式显式 EulerEuler 公式是最基本的计算公式 公式是最基本的计算公式 如果将节点如果将节点处的导数处的导数用后向差商代替 用后向差商代替 1k t 1 k u t 3 2 53 2 5 1 1 kk k u tu t u t h 则类似可得递推公式 则类似可得递推公式 111 kkkk uuhf tu 3 2 63 2 6 由于它关于由于它关于是隐式形式 所以式 是隐式形式 所以式 3 2 63 2 6 称为隐式称为隐式 EulerEuler 公式 显式和隐公式 显式和隐 1k u 式式 EulerEuler 公公 式在计算式在计算时 只用到前一步的结果时
15、 只用到前一步的结果 可称为单步方法 可称为单步方法 1k u k u 如果将节点如果将节点处的导数处的导数用中心差商代替 用中心差商代替 k t k u t 3 2 73 2 7 11 2 kk k u tu t u t h 得到的递推公式 得到的递推公式 3 2 83 2 8 11 2 kkkk uuhf tu 在计算在计算时 需要用到前两步结果时 需要用到前两步结果 称为两步法公式 称为两步法公式 1k u 1 kk uu 2 2 积分近似方法 积分近似方法 式式 3 2 13 2 1 的微分方程可写成的微分方程可写成 在区间在区间 上积分上积分 有有 duf t u dt 1 kk t
16、t 3 2 93 2 9 1 1 K k t kk t u tu tf t u dt 上式右边的定积分用不同的积分公方就可得到不同的递推公式 例如用左矩形上式右边的定积分用不同的积分公方就可得到不同的递推公式 例如用左矩形 公式计算 公式计算 可以得到显式可以得到显式 EulerEuler 公式 公式 3 2 43 2 4 用右矩形公式计算 可以得到 用右矩形公式计算 可以得到 隐式隐式 EulerEuler 公式 公式 3 2 63 2 6 用梯形公式计算 则有递推公式 用梯形公式计算 则有递推公式 3 2 93 2 9 111 2 kkkkkk h uuf tuf tu 称为梯形公式 称为梯形公式 一般来说 隐式公式的每一次递推计算都需要求解一个非线性方程 虽然一般来说 隐式公式的每一次递推计算都需要求解一个非线性方程 虽然 可用迭代法求解 但是计算量较大 为了简化计算过程 可以采用所谓的预测可用迭代法求解 但是计算量较大 为了简化计算过程 可以采用所谓的预测 一校正技术 即先用显式公一校正技术 即先用显式公 式计算 得到一个预测值作为隐式公式的迭代初值 然后用隐式公式迭代一次式计
