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1、 .高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理：1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ()：标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 （0，0）离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦的焦半径;的焦半径； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p. AB为抛物线的焦点弦，则 ，=3. 的参数方程为（为参数），的参数方程为（为参数）.重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的
2、距离为1，则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点分别是点在准线上的射影，弦的中点为M，则，点M到准线的距离为，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3
3、、典型例题讲解：考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 解题思路：将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离解析过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3总结：灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习：1.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差
4、数列， 则有 （）A B C D. 解析C 由抛物线定义，即： 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上解题思路：以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得，令得， 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)
5、,当焦点为(4,0)时, ，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ，此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.总结：对开口方向要特别小心，考虑问题要全面练习：3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 解析4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.（要求填写合适条件的序号）解析 用排除法，由抛物线方程y2=10x可排除，从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为
6、准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影，则，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或考点3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.解题思路：由特殊入手，先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点总结：（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB, 求交点即可；（2）B点坐标可由A点坐标用换k而得。练习：6. 若直线经过抛物线的焦点，则实数 解析-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交
7、于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 解析C基础巩固训练：1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（ ）A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在解析C ，而通径的长为42.在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为（）A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为43.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D解析 D. 4. 如果，是抛物线上的
8、点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，若成等差数列且，则=（ ）A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义，可知（，2，n），成等差数列且,=65、抛物线准线为l，l与x轴相交于点E，过F且倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，ABl，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于（ ）A B C D解析 C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H，设，则，四边形ABEF的面积=6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为 解析. 过A 作轴于D，令，则即，解得综合提高训练7.在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标解析解法1：设抛物线
9、上的点，点到直线的距离，当且仅当时取等号，故所求的点为解法2：当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为，代入抛物线方程得，由得，故所求的点为8. 已知抛物线（为非零常数）的焦点为，点为抛物线上一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为（1）求的坐标；（2）当点在何处时，点到直线的距离最小？解：（1）抛物线方程为 故焦点的坐标为 （2）设 直线的方程是 9. 设抛物线（）的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上，且BCX轴证明直线AC经过原点O证明:因为抛物线（）的焦点为，所以经过点F的直线AB的方程可设为 ，代人抛物线方程得 若记，则是
10、该方程的两个根，所以因为BCX轴，且点C在准线上，所以点C的坐标为，故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O10.椭圆上有一点M（-4，）在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.（1）求椭圆方程；（2）若点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.解：（1）上的点M在抛物线（p0）的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4，p=8M（-4，）在椭圆上由解得：a=5、b=3椭圆为由p=8得抛物线为设椭圆焦点为F（4，0），由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=，即为所求的最小值.参考例
11、题：1、已知抛物线C的一个焦点为F（，0），对应于这个焦点的准线方程为x=-.（1）写出抛物线C的方程；（2）过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求AOB重心G的轨迹方程；（3）点P是抛物线C上的动点，过点P作圆（x-3）2+y2=2的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN|的值最小？求出|MN|的最小值.解：（1）抛物线方程为：y2=2x. （4分）（2）当直线不垂直于x轴时，设方程为y=k(x-)，代入y2=2x，得：k2x2-(k2+2)x+.设A（x1，y1），B(x2，y2)，则x1+x2=，y1+y2=k(x1+x2-1)=.设AOB的重心为G（x，y）则，
12、消去k得y2=为所求， （6分）当直线垂直于x轴时，A（，1），B（，-1）， （8分）AOB的重心G（，0）也满足上述方程.综合得，所求的轨迹方程为y2=， （9分）（3）设已知圆的圆心为Q（3，0），半径r=，根据圆的性质有：|MN|=2. （11分）当|PQ|2最小时，|MN|取最小值，设P点坐标为(x0，y0)，则y=2x0.|PQ|2=（x0-3）2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5，当x0=2，y0=2时，|PQ|2取最小值5，故当P点坐标为（2，2）时，|MN|取最小值. 抛物线专题练习一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（ A ）A（1, 0）B（2, 0）C（3, 0）D（1, 0）2圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（D ）Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2
