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1、 .高考抛物线专题做题技巧与方法总结知识点梳理:1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ():标准方程图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点 (0,0)离心率2.抛物线的焦半径、焦点弦的焦半径;的焦半径; 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p. AB为抛物线的焦点弦,则 ,=3. 的参数方程为(为参数),的参数方程为(为参数).重难点突破重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质难点: 与焦点有关的计算与论证重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题1:抛物线y=4上的一点M到焦点的
2、距离为1,则点M的纵坐标是( ) A. B. C. D. 0点拨:抛物线的标准方程为,准线方程为,由定义知,点M到准线的距离为1,所以点M的纵坐标是2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有 点拨:抛物线的类型一共有4种,经过第一象限的抛物线有2种,故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质,要具备数形结合思想,“两条腿走路”问题3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨:设为抛物线的焦点弦,F为抛物线的焦点,点分别是点在准线上的射影,弦的中点为M,则,点M到准线的距离为,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切3
3、、典型例题讲解:考点1 抛物线的定义题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 解题思路:将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离解析过点P作准线的垂线交准线于点R,由抛物线的定义知,当P点为抛物线与垂线的交点时,取得最小值,最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3总结:灵活利用抛物线的定义,就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关练习:1.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、成等差
4、数列, 则有 ()A B C D. 解析C 由抛物线定义,即: 2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时, M点坐标是 ( )A. B. C. D. 解析 设M到准线的距离为,则,当最小时,M点坐标是,选C考点2 抛物线的标准方程题型:求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上解题思路:以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.解析 (1)设所求的抛物线的方程为或, 过点(-3,2) 抛物线方程为或,前者的准线方程是后者的准线方程为 (2)令得,令得, 抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2)
5、,当焦点为(4,0)时, ,此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ,此时抛物线方程. 所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.总结:对开口方向要特别小心,考虑问题要全面练习:3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 解析4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:焦点在y轴上;焦点在x轴上;抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;抛物线的通径的长为5;由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).能使这抛物线方程为y2=10x的条件是_.(要求填写合适条件的序号)解析 用排除法,由抛物线方程y2=10x可排除,从而满足条件.5. 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为
6、准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程解析 设点是点在准线上的射影,则,由勾股定理知,点A的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或考点3 抛物线的几何性质题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证例3 设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为_.解题思路:由特殊入手,先探求定点位置解析设直线OA方程为,由解出A点坐标为解出B点坐标为,直线AB方程为,令得,直线AB必过的定点总结:(1)由于是填空题,可取两特殊直线AB, 求交点即可;(2)B点坐标可由A点坐标用换k而得。练习:6. 若直线经过抛物线的焦点,则实数 解析-17.过抛物线焦点F的直线与抛物线交
7、于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 解析C基础巩固训练:1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线( )A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在解析C ,而通径的长为42.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6解析 B 利用抛物线的定义,点P到准线的距离为5,故点P的纵坐标为43.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D解析 D. 4. 如果,是抛物线上的
8、点,它们的横坐标依次为,F是抛物线的焦点,若成等差数列且,则=( )A5 B6 C 7 D9 解析B 根据抛物线的定义,可知(,2,n),成等差数列且,=65、抛物线准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,ABl,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于( )A B C D解析 C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H,设,则,四边形ABEF的面积=6、设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 解析. 过A 作轴于D,令,则即,解得综合提高训练7.在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短,求该点的坐标解析解法1:设抛物线
9、上的点,点到直线的距离,当且仅当时取等号,故所求的点为解法2:当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为,代入抛物线方程得,由得,故所求的点为8. 已知抛物线(为非零常数)的焦点为,点为抛物线上一个动点,过点且与抛物线相切的直线记为(1)求的坐标;(2)当点在何处时,点到直线的距离最小?解:(1)抛物线方程为 故焦点的坐标为 (2)设 直线的方程是 9. 设抛物线()的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点 C在抛物线的准线上,且BCX轴证明直线AC经过原点O证明:因为抛物线()的焦点为,所以经过点F的直线AB的方程可设为 ,代人抛物线方程得 若记,则是
10、该方程的两个根,所以因为BCX轴,且点C在准线上,所以点C的坐标为,故直线CO的斜率为即也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O10.椭圆上有一点M(-4,)在抛物线(p0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上,过N作准线l的垂线,垂足为Q距离,求|MN|+|NQ|的最小值.解:(1)上的点M在抛物线(p0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.c=-4,p=8M(-4,)在椭圆上由解得:a=5、b=3椭圆为由p=8得抛物线为设椭圆焦点为F(4,0),由椭圆定义得|NQ|=|NF|MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF|=,即为所求的最小值.参考例
11、题:1、已知抛物线C的一个焦点为F(,0),对应于这个焦点的准线方程为x=-.(1)写出抛物线C的方程;(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求AOB重心G的轨迹方程;(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是M,N.当P点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.解:(1)抛物线方程为:y2=2x. (4分)(2)当直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-),代入y2=2x,得:k2x2-(k2+2)x+.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-1)=.设AOB的重心为G(x,y)则,
12、消去k得y2=为所求, (6分)当直线垂直于x轴时,A(,1),B(,-1), (8分)AOB的重心G(,0)也满足上述方程.综合得,所求的轨迹方程为y2=, (9分)(3)设已知圆的圆心为Q(3,0),半径r=,根据圆的性质有:|MN|=2. (11分)当|PQ|2最小时,|MN|取最小值,设P点坐标为(x0,y0),则y=2x0.|PQ|2=(x0-3)2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5,当x0=2,y0=2时,|PQ|2取最小值5,故当P点坐标为(2,2)时,|MN|取最小值. 抛物线专题练习一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为( A )A(1, 0)B(2, 0)C(3, 0)D(1, 0)2圆心在抛物线y 2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是(D )Ax2+ y 2-x-2 y -=0Bx2+ y 2+x-2 y +1=0 Cx2+ y 2-x-2