《平面平面的基本性质及应用》由会员分享，可在线阅读，更多相关《平面平面的基本性质及应用（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面、平面的基本性质及应用一、平面的基本性质回顾：包括三个公理、三个推论、其中公理3，推论1，推论2，推论3分别提供了构造平面的四种：（1）选不共线的三点 （2）选一条直线与直线外一点 （3）选两条相交直线 （4）选两条平行直线 二、证明共面的两种方法： 1、构造一个平面，证相关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能确定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。 例1已知a/b, Aa, Bb, Cb.求证：a,b及直线AB，AC共面。 思路（1）：由a/b可确定平面，再证AB，AC； 思路（2）：由a/b可确定平面，由直线AB，AC可确定平面。因为，都经过不共线的三点A、B、C，所以，重合。
2、思路（3）：在思路（2）中的平面，还可以由不共线的A，B，C三点来构造，或者由点A与直线b来构造。 另外，同学们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清楚，建议同学们书写时注明理由，如下所示： 写法（一）： 证明： a/b（已知） a,b确定一个平面（推论3） Aa, bb, cb（已知） A，B，C直线AB，直线AC（公理1） a,b,AB,AC共面。 写法（二）： 证明： a/b（知） a,b确定一个平面（推3） A，Bb, Cb（已知） a经过A，B，C三点， ABAC=A 直线AB，AC确定一个平面（推论2） 经过A，B，C三点， Aa,Bb, Cb, a/b（已知） A，
3、B，C不共线 与重合（公理3） a, b，AB，AC共面。 关于同一法证题的思路，请同学们再看一道例题。 例2如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。分析：这是一个文字命题，要求画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。 已知：a/b/c,ad=A，bd=B，cd=C求证：a,b,c,d共面。分析 由a/b可确定一个平面；由b/c可确定一个平面。因为，都经过两条相交的直线b和d,所以由推论2可知，与重合。（注意：和都经过的元素，还可有其它的选取办法，请同学们自己试一试）。 证明： a/b（已知） a,b确定一个平面（推论3） b/c
4、（已知） b,c确定一个平面（推论3） Aa,Bb, A, B, 直线AB即d（公理1） 同理可证：d, ，都经过b和d， bd=B 与重合（推论2）。 三、证明三线共点，三点共线的方法 1三线共点：证其中两条直线的交点在第三条直线上； 2三点共线：证三点都是两平面的公共点。 例3：已知如图，=l, a, b, ab=A.求证：Al（或者a,b,l共点）分析：只需证明A为，的公共点。 证明： ab=A, a, b, Aa, Ab, 即A为，的一个公共点， l是和的交线， Al. 例4：如图，已知延长ABC三边，AB=D，BC=E，AC=F。求证：D，E，F共线。证明： ABC顶点不共线， A，
5、B，C可确定平面, D且DAB, D是，的公共点。 同理可证：E，F也是，的公共点， D，E，F都在，支线上，即D，E，F共线。 典型例题 一求证两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.已知:直线AB、BC、CA两两相交,交点分别为A、B、C。求证:直线AB、BC、CA共面。证明:直线AB和AC相交于点A, 直线AB和AC确定一个平面(推论2). BAB,CAC, BC(公理1). 因此直线AB、BC、CA都在平面内,即它们共面. 说明:证明几条直线共面,就是要找到一个平面,使得它们都在这个平面内,关键是如何找到这个平面。也就是如何确定这个平面。(由公理3及它的三个推论我们知道确定平面有
6、四种方法).当平面确定以后,再证明都在这个平面内,即完成了这个证明. 二.证明:如果一条直线和三条平行直线都相交,那么这四条直线在同一平面内.已知:直线a、b、c、l,abc,la=A,lb=B, lc=C.求证:a、b、c、l共面。证明: ab. a与b确定一个平面(推论3). la=A,lb=B, A,B, 直线AB,即l. 也就是a、b、l共面于。 同法可证明b、c、l共面于. 这就是说b、l既在平面内又在平面内. 而lb=B. 由公理3的推论2可知,是同一个平面. a、b、c、l在同一平面内. 说明:当确定一个平面后,说明其余直线也在这个平面内发生困难后,往往可采用“间接法”证明.本题
7、采用了“同一法”,也可采用“反证法”来证明. 三已知:延长ABC三边.AB=P,BC=Q,AC=R.求证:P、Q、R共线。证明:ABC三顶点为不共线的三点. A、B、C三点可以确定一个平面. PAB,AB, P. 又 AB=P,即P。 P=l. 同理可证Ql, Rl,即P、Q、R共线。 说明:在空间几何中,证明几点共线.往往要用到公理2. 四.证明:三个平面两两相交得到三条直线.(1)如果其中两条直线交于一点,那么第三条直线也过这点.(2)如果其中两条直线平行.那么第三条直线也和它们平行.已知: =a,=b,=c。(1)若ab=0,求证:0c. (2)若ab,求证:ac, bc。证明:(1)
8、=a,=b,ab=0。 0，0。 而=c. 0c(公理2)。 (2) =a,=c， a,c,即a、c共面于。 a或c成平行或相交. 假设ac=P,则由(1)的结论可知Pb. 即ab=P,这与ab矛盾,假设不成立，故ac, 同理可知 bc。 说明:本题的结论是对三个平面两两相交,交线的位置关系的判定,它对今后的画图有着很重要的作用.应给予重视. 习题： 1a,b,c交于同一点O，直线d与a,b,c分别交于A，B，C三点。 求证：a,b,c,d共面。 2已知：平面， =a, =b, =c,且a/b=M。 求证：a,b,c三线共点。 3.已知:=l, a,b,ab=A. 求证:Al. 4.如图:=l
9、,A,B,c.试在内找一点D.使A、B、C、D四点为一梯形的四个顶点,这样的点D共有几个？ 1（提示：由a与d相交可知，a,d确定一个平面 ，再证：b,c在内） 2 提示：由于a,b的交点已经存在，所以只需证M点在C上即可。要证M在C上， 由于C是 ，的交线，所以只需证M同在，内 3.证明: ab=A,a,b. A且A, 又 =l, Al. 4.分析:因为梯形是平面图形,所以D在A、B、C三点确定的平面内,但D又在内,所以D在平面与的交线上,因为与的交线AB与l交于点P,易知与的交线也过P点,连CP, 则D在直线CP上。连BC,在平面内过A作ADBC交CP于D.连AC,在平面内过B作BDAC交
10、CP于D,D与D即为所求.这样的点只有两个。 在线测试窗体顶端选择题1A, B, C为空间三点，经过这三点（ ） A能确定一个平面 B能确定无数个平面 C能确定一个或无数个平面 D能确定一个平面或不能确定平面 窗体底端窗体顶端2空间交于一点的四条直线最多可以确定平面（ ） A4个B5个C6个D7个 窗体底端窗体顶端3空间不共线四个点 A, B, C, D, 在同一平面内的射影A, B, C, D在同一条直线上，那么A, B, C, D可确定平面个数为（ ） A1个B2个C3个D4个 窗体底端窗体顶端4四个平面互不平行，也不重合，则它们交线的数目不能是（ ） A6B4C2D1 窗体底端窗体顶端5
11、过直线l外两点作与直线l平行的平面，可以作（ ） A0个B1个C无数个D0个，1个或无数个 窗体底端窗体顶端6空间四点可以确定几个平面？ A 1个B 4个C无数个D以上情况都可能 窗体底端窗体顶端7三条直线两两相交，最多可以确定几个平面？ A 1个B 2个C 3个D 4个 窗体底端窗体顶端8三条直线两两平行，最多可以确定几个平面？ A 1个B 2个C 3个D 1个或3个 窗体底端窗体顶端9下列几种说法中，正确的是： A空间的三个点确定一个平面 B四边形一定是平面图形 C六边形一定是平面图形 D梯形一定是平面图形窗体底端答案与解析解析：1如果这三点不在一条直线，则可以确定一个平面；如果这三点在一
12、条直线上，则不能确定平面。故本题应选（D）。 2确定最多平面的情况应是每两条直线所确定的平面都不重合，这样若把四条直线依次编号，则相邻两号码（1与4也看成相邻）共确定4个平面，而相对两号码共确定2个平面，最多时能确定6个平面。故本题应选（C）。 3四个点在同一平面内的射影若在一条直线上，则这四个点在同一平面内，故这四个点所确定的平面是一个。故本题应选（A）。 4若四个平面交于一条直线，则交线有一条，若四个平面中每三个平面共点，则共有交线C=6条。若四个平面交于一点，但无公共交线，则共有交线四条，所以不可能有2条交线。故本题应选（C）。 5.若两点连线与l相交，则可以作O个；若两点连线与l平行，
13、则可以作无数个；若两点连线与l异面，则可以作1个。故本题应选（D）。6.四点若在同一直线上，经过这四点可以有无数多个平面；四点若在同一平面内，不论是否有三个点在同一直线上，都只能确定一个平面；不在同一平面内的四个点可以确定四个平面，因此四个点确定平面的个数可能是1个、4个或无数多个,故本题应选（D）。 7.三条直线两两相交，若共点且在同一平面内，只能确定一个平面；若共点不在同一平面内，能确定三个平面。若不共点，两两相交有三个公共点，只能确定一个平面。故最多可以确定三个平面，故本题应选（C）。 8.三条直线两两平行，如果一条直线在其他两平行直线确定的平面内，这三条直线只能确定一个平面；如果三条平等线不在同一平面内，则可以确定三个平面，故最多可以确定三个平面,故本题应选（C）。 9.若三个点在同一直线上，则可以有无数个平面，所以（A）不对。四边形、六边形不一定是平面图形，所以（B）、（C）不对,故本题应选（D）。 事实上，由于梯形的一组对边互相平行，所以确定一个平面，于是得四个顶点在这个平面内，从而
