《小学六年级数学竞赛讲座 第16讲 期末考试》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学六年级数学竞赛讲座 第16讲 期末考试（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第十六十六讲讲 期末考试期末考试 一 填空题 共 8 题 每题 5 分 共 40 分 1 计算 22 11111111 2014 2014 112123122013112123122013 0 19 5 0 53 5 解 原式 201420142222 2014 0 19 5 0 53 5 1 22 33 42013 2014 1060038001 2014 2 1 1201202014 120 2 2013 483120 2 下面一个 2017 位数 100810083 33334444 个4个 中间漏写了一个数字 方框 已知这个多位数能被 7 整除 那么 中间方框内所有可能的数字之和是
2、7 解 1008 3 336 336 2 168 所以 10083 3333 个 可以被 7 整除 1008 4444 个4 也可以被 7 整除 于是方框内可以填 0 和 7 数字和是 7 3 把下图中的有空缺的除法竖式恢复后 可以发现被除数是 20952 解 先把最容易看出的第二个减式一定是10 1 9 2 第一个减式一定是2 0 1 0 这样就成为 所以商的百位一定是 1 被除数的百位为 1 十位为 0 商的十位必须为 9 此时只有除数的个位为 8 才能使第二个乘积的个位是 2 于是除数是 108 例如 20952 108 194 刚好符合条件 4 一个立体图形由若干个立方体通过面与面粘合
3、而成 其中它的三视图都如下图所 示 那么组成这个图形最少需要 24 个小立方体 解 如图 在正方体的框架上选取一个回形的部分 其中水平的有 2 条边 竖直的有 2 条边 侧面方向有 2 条边 一共是 6 条边和 6 个角 每个角是 1 块 每条边 不算角 是 3 块 所以一共是 6 3 6 24 块 2 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 9 2 9 2 0 2 1 1 1 01 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 9 2 9 2 0 2 1 1 9 9 1 01 0 8 8 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 9 9 7 7 2 2 0 4 3 2 2 0 9 5 2 1 1
4、 9 9 4 4 1 01 0 8 8 1 0 1 5 1 0 8 1 0 8 9 9 7 7 2 2 4 3 2 0 0 2 2 0 0 1 1 2 5 甲 乙两车分别从 A B 两地同时出发 相向而行 出发时 甲 乙的速度之比是 9 10 相遇后甲的速 度增加 40 乙的速度减少 30 这样当甲到达 B 地时 乙离 A 地还有 31 千米 那么 A B 两地相距 171 千米 解 开始甲 乙的速度之比是 9 10 设 V甲 9v V乙 10v 把 AB 分成 19 份 相遇点是在 C 点 其中 AC 占 9 份 9 19 AB BC 占 10 份 10 19 AB 相遇后 速度变化 甲的速
5、度是 9v 1 40 12 6v 乙的速度是 10v 1 30 7v 甲的速度是乙的速度的 12 6 7 1 8 倍 此时的甲 乙速度比是 9 5 甲到达 B 时 又行走了 10 份路程 此时乙行走了 10 9 5 50 9 份 离 A 点的距离是 9 50 9 31 9 份 31 9 份 31 千米 所以 1 份是 9 千米 AB 之间一共 19 份 所以 AB 19 9 171 千米 6 假设 m 是正整数 那么 2m 1 和 2 4m 1 的最大公因数是 1 解 当 m 1 时 2m 1 3 2 4m 1 17 所以它们的最大公因数是 1 当 m 2 时 2m 1 5 2 4m 1 25
6、7 所以它们的最大公因数是 1 当 m 3 时 2m 1 9 2 4m 1 4097 所以它们的最大公因数是 1 有 2m 1 2m 1 2 2m 1 2 4m 1 而 2 4m 1 与 2 4m 1 是两个相邻的奇数 它们是互质的 2m 1 是 2 4m 1 的因数 所以 2m 1 和 2 4m 1 互质 7 用 1 3 5 三个数字来构造 6 位数 但是不允许有两个相邻的 1 出现在六位数中 这样的六位数共有 448 个 解 数字 1 3 5 第 1 位 1 1 1 第 2 位 2 3 3 第 3 位 6 8 8 第 4 位 16 22 22 第 5 位 44 60 60 第 6 位 12
7、0 164 164 所以一共可以排出 120 164 164 448 个 六位数 解 2 若六个数位上没有 1 有 26 64 个 若恰好有 1 个 1 则先放 1 有 6 种方法 再在其他数位上放 3 或 5 有 6 25 192 个 若恰好有 2 个 1 用插空得有 2 5 C 10 种放置 1 的方法 有 10 24 160 个 若恰好有 3 个 1 用插空得有 3 4 4C 种放置 1 的方法 有 4 23 32 个 不可能 4 5 6 个 1 所以一共有 64 192 160 32 448 个六位数 8 平面上有 n 个点 这 n 个点中任意 3 个点都能组成一个直角三角形 那么满足
8、条件的 n 最大是 4 解 一个矩形中的任意 3 个顶点都可以组成直角三角形 若 n 5 三个点 ABC 构成直角三角形 现在加一点 D 并使其满足题意 若 ABD 中斜边不是 AB 如图 则 CBD 为钝角 三角形 CBD 不为直角三角形 矛盾 故 AB 为三角形 ABD 斜边 即 D 在 AB 为直径的圆上 又 ACD BCD 是直角三角形 所以只能 CD 是直径 即 n 4 时满足 若存在异于 D 的第 5 点 E 满足题意 由 知 E 必在 ABC 确定的圆上 则 CE 不为直径 CAE 与 CBE 中必有一个角为钝角 矛盾 综上 n 最大为 4 二 解答题 共 6 题 每题 10 分
9、 共 60 分 9 在长方形 NOPQ 中 NQ 15 厘米 NO 8 厘米 T 为三等分点 四边形 STUR 的面积是多少平方厘米 解 由题意 OT 是 OP 的 1 3 所以 OT QN 1 3 得到 ST SN 1 3 所以 S OST S OSN 1 3 S OST 1 4 S OTN 15 8 5 42 平方厘米 同样 PT QN 2 3 TU QU 2 3 S PTU S PQU 2 3 S PTU 2 5 S PQT 2 10 8 16 52 平方厘米 又 S OPR 1 4 SNOPQ 30 平方厘米 所以 S四边形STUR 30 16 5 9 平方厘米 10 袋子中有红 黄
10、白三种球共 200 个 如果取出红球的 1 7 黄球的 1 8 白球的 1 3 则还剩 160 个 如 果取出红球的 1 3 黄球的 1 4 白球的 1 7 则剩 148 个 原有黄球和白球一共多少个 解 设红球有 x 个 黄球有 y 个 白球有 z 个 则 R U T S P Q O N 2 3 1 R U T S P Q O N 200 40 783 52 347 xyz xyz xyz 7 得 4 80 83 yz 3 得 4 44 47 yz 解得 z 63 y 32 所以 y z 95 即黄球与白球的和是 95 11 如图所示 一个圆环被分成 8 部分 现将每一部分染上红 黄 蓝三种
11、颜色之一 要求相邻两部分颜色不同 共有多少种染色方法 解 如果圆环只有两部分 则有 3 2 6 种涂色方法 如果圆环分成三段 应该是 3 2 2 种方法减去把首位合在一起的 6 种方法 即 3 2 2 6 6 种 方法 如果圆环分成 4 段 由上面思路有 3 23 6 18 种 方法 如果圆环分成 5 段 由上面思路有 3 24 18 30 种 方法 如果圆环分成 6 段 由上面思路有 3 25 30 66 种 方法 如果圆环分成 7 段 由上面思路有 3 26 66 126 种 方法 圆环分成 8 段 由上面思路有 3 27 126 258 种 方法 解法 2 用传球的思路 用三个颜色的球中
12、的一个 如红球 开始 传球 7 次 球不传回自己手中 第 8 次 恰好传回甲手中 次数 甲 乙 丙 0 1 0 0 1 0 1 1 2 2 1 1 3 2 3 3 4 6 5 5 5 10 11 11 6 22 21 21 7 42 43 43 8 86 所以共有 3 86 258 种 涂色方法 12 abc是一个小于 500 的三位数 若abc除以 7 的余数是 d abc除以 11 的余数是 e abc除以 13 的余 数是 f 那么当 d e f 最大时 abc是多少 解 1001 7 11 13 所以要使得余数的和是 12 10 6 28 那么最小应该是 1000 显然这是不可能的 下
13、面我们找一找会不会出现余数和是 27 的 对于除以 13 余 12 且除以 11 余 10 的数 有 13 11 1 142 285 428 其中 285 7 40 5 这样三个余数的和是 12 10 5 27 所以abc 285 13 直线上并排放着两个紧挨着的圆 它们的面积都等于 1680 平方厘 米 阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分 如果要在阴影部分内部放 入一个尽可能大的圆 则这个圆的面积等于多少平方厘米 解 如图 做出小圆 设大圆的半径为 R 小圆的半径为 r 连结圆心 且如图做出直角三角形 于是直角三角形的斜边是 R r 两条直角边分别是 R r 和 R 根据勾股定理 有 R r
14、 2 R r 2 R2 所以 R2 2Rr r2 R2 2Rr r2 R2 得到 4Rr R2 所以 R 4r 大圆面积是小圆面积的 16 倍 大圆面积是 1680 所以小圆面积是 1680 16 105 平方厘米 14 在 8 8 的正方形方格板上 最少要放置多少块的 角型 使得再放上一个角型时必然产生重叠 解 如图放置 把周边空出来 用了 11 块角型 下面证明用 10 块以下不能完成任务 对于一个 2 2 的正方形 至少需要盖住其中 2 个小格 才能使得不能再放入一个角型 在 8 8 的正方形中有 16 个独立的 2 2 正方形 所以要盖住它们 至少需要盖住 2 16 32 个小正方形 而 10 个角型最多盖住 3 10 30 个小正方形 所以不能用 10 个角型完成任务
