《科技大学机械工程控制基础系统的稳定性(PPT 67页)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《科技大学机械工程控制基础系统的稳定性(PPT 67页)（66页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第五章系统的稳定性 本章主要教学内容 5 1系统稳定性的初步概念 5 2Routh 劳斯 稳定判据 5 5系统的相对稳定性 5 4Bode稳定判据 5 3Nyquist稳定判据 5 3节为本章难点 5 2 5 4 5 5节为本章重点 5 1稳定性的基本概念 本节教学内容 5 1 1稳定性的定义 5 1 2稳定的充要条件 5 1 3稳定的必要条件 本节教学要求 1 了解系统稳定性的物理概念 3 掌握用稳定的必要条件判断系统稳定性的方法 2 熟悉系统稳定性的数学定义及充要条件 5 系统的稳定性 不稳定的现象 5 1 1稳定性的定义 5 1稳定性的基本概念 稳定性的定义 一个系统称之为稳定的 是指控
2、制系统在外部扰动作用下偏离其原来的平衡状态 当扰动作用消失后 系统仍能自动恢复到原来的平衡状态 5 1 1稳定性的定义 稳定 不稳定 线性系统的稳定性是控制系统自身的固有特性 取决于系统本身的结构和参数 与输入无关 以上定义只适用于线性定常系统 5 1 1稳定性的定义 稳定性的其他说法 大范围渐近稳定 不论扰动引起的初始偏差有多大 当扰动取消后 系统都能够恢复到原有的平衡状态 否则就称为小范围 小偏差 稳定 注意 对于线性系统 小范围稳定 大范围稳定 稳定性条件的分析方法 脉冲响应法 假设系统在初始条件为零时 受到单位脉冲信号 t 的作用 此时系统的输出为单位脉冲响应 这相当于系统在扰动作用下
3、 输出信号偏离平衡点的问题 显然 当t 时 若 则系统 渐近 稳定 5 1 2系统稳定的充要条件 5 1稳定性的基本概念 脉冲响应法分析 5 1 2系统稳定的充要条件 如果pi和 i均为负值 当t 时 x0 t 0 稳定性与零点无关 线性系统的脉冲响应 线性系统稳定的充要条件 自动控制系统稳定的充分必要条件是 系统特征方程的根全部具有负实部 或闭环系统的极点全部在S平面左半部 由已知条件知系统具有负实根或具有负实部的共轭复根 因此系统稳定 5 1 2系统稳定的充要条件 举例 某单位反馈系统 其开环传递函数为 其闭环传递函数为 系统特征方程和特征根为 系统稳定的必要条件是 系统特征方程各项系数具
4、有相同的符号 且无零系数 5 1 3系统稳定的必要条件 5 1稳定性的基本概念 设系统特征根为s1 s2 sn 1 sn 则 5 1 3系统稳定的必要条件 各根之和 每次取两根乘积之和 每次取三根乘积之和 各根之积 系统特征方程的全部根具有负实部则特征方程的系数必然同号 不妨设为均大于零 用待定系数法分析特征方程根与系数的关系 例某水位控制系统如图 讨论该系统的稳定性 被控对象水箱的传递函数 执行电动机的传递函数 K1 进水阀门的传递系数Kp 杠杆比H0 希望水位H 实际水位 5 1 3系统稳定的必要条件 5 1 3系统稳定的必要条件 系统闭环传递函数和特征方程 K KpkmK1K0为系统的开
5、环放大系数 该系统为三阶系统 但缺少s项 即对应的特征多项式的中有系数为0 不满足系统稳定的必要条件 所以该系统不稳定 这种系统属于结构不稳定系统 无论怎样调整该系统的参数 如 K Tm 都不能使系统稳定 要使系统稳定 必须对系统进行校正 系统稳定性分析 5 2Routh 劳斯 稳定判据 5 系统的稳定性 本节教学内容 5 2 1Routh行列式 5 2 2Routh判据 5 2 3Routh判据的特殊情况 本节教学要求 1 掌握利用Routh判据判断系统稳定性的方法 2 了解特殊情况下Routh判据的运用 牢斯 Routh 判据无需求解特征根 直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性 属于稳定
6、性判断中的一种代数方法 5 2 1Routh行列式 列写Routh行列式 是利用Routh判据进行系统稳定性分析的主要工作 其步骤如下 列写系统特征方程 计算Routh行列式的每一行都要用到该行前面两行的数据 计算行列式的其余各行 5 2 1Routh行列式 例如6阶特征方程 其牢斯行列式为 5 2 1Routh行列式 如果符号相同 说明系统具有正实部的特征根的个数等于零 系统稳定 如果符号不同 则符号改变的次数等于系统具有正实部的特征根的个数 系统不稳定 控制系统稳定的充分必要条件 牢斯行列式的第一列元素不改变符号 Routh判据 牢斯判据的实质是对Routh行列表中的 第一列 各数的符号进
7、行判断 5 2 2Routh判据 注 通常a0 0 因此 劳斯稳定判据可以简述为 劳斯阵列表中第一列的各数均大于零 例1牢斯判据判定稳定性 符号改变二次 系统有两个不稳定的特征根 5 2 2Routh判据 5 2 2Routh判据 例2牢斯判据判定稳定性 系统特征方程 5 2 2Routh判据 例3牢斯判据判定系统相对稳定性 已知系统特征方程 s3 7s2 14s 8 0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s 1的右侧 将s平面虚轴左移一个单位距离 即构造一个z平面 则直线s 1右侧的极点即为z平面右侧的极点 劳斯行列表 系统有两个特征根位于平行于虚轴的直线s 1的右侧 5 2 2
8、Routh判据 例3牢斯判据判定系统相对稳定性 已知系统特征方程 s3 7s2 14s 8 0试判断该系统有几个特征方程根位于与虚轴平行的直线s 1的右侧 将s平面虚轴左移一个单位距离 即构造一个z平面 则直线s 1右侧的极点即为z平面右侧的极点 劳斯行列表 系统有一个特征根位于 1 j0 点 5 2 3Routh判据的特殊情况 特殊情况1 第一列出现0 第一列出现0 各项系数均为正数 解决方法 用任意小正数 代之 因第一列符号改变两次 该系统不稳定 特殊情况2 某一行元素均为0 各项系数均为正数 出现全0行 5 2 3Routh判据的特殊情况 劳斯阵列出现全零行表明 系统在s平面有对称分布的
9、根 共轭虚根 对称于虚轴的两对共轭复根 对称于虚轴的一对实根 5 2 3Routh判据的特殊情况 5 2Routh 劳斯 稳定判据 习题5 5 图示系统 确定K a取何值时 系统维持以 2s 1的持续振荡 Xi s Xo s 系统产生持续振荡 说明系统为临界稳定系统 则劳斯行列式的第一列会出现0元素 5 2Routh 劳斯 稳定判据 课后作业 教材185 186页 5 3 5 45 7 选做题 5 3Nyquist稳定判据 5 系统的稳定性 本节教学内容 5 3 1幅角原理 5 3 2Nyquist稳定判据 5 3 3开环含有积分环节情况 本节教学要求 1 了解Nyquist判据的依据 幅角原
10、理 2 掌握Nyquist判据的使用方法 3 熟悉开环含有积分环节时奈氏轨迹的绘制判断 Nyquist稳定性判据是利用系统开环频率特性G j H j 来判断系统特征方程1 G s H s 0的根是否全部具有负实部 是一种几何判据 并且还能够判断系统的相对稳定性 奈氏判据的依据是幅角原理 开环传递函数 5 3 1幅角原理 系统开环特征多项式与闭环特征多项式关系 5 3 1幅角原理 幅角原理 设Ls为 s 平面上一条封闭曲线 F s 在Ls上解析 Z P分别为F s 在Ls内零 极点个数 当s按顺时针方向沿Ls变化一周时 向量F s 在 F 平面所形成的曲线LF将包围原点N次 且N Z P Ls
11、s j o F s F Re Im o N 2 N 0 F s 绕 F 平面原点顺时针转N圈 N 0 F s 绕 F 平面原点逆时针转N圈 Nyquist判据基本思想 5 3 2Nyquist稳定判据 Gk s 的形状 即 GK 平面上的Nyquist轨迹为当 由 到 变化时 GK j 所形成的轨迹 5 3 2Nyquist稳定判据 注 由于Gk j 关于Gk j 共轭 因此只需作出 从0 的Gk j 即可 开环稳定系统 P 0 的Nyquist判据 系统在开环状态稳定的条件下 闭环稳定的充要条件是 当 由 到 变化时 开环G j H j 轨迹不包围 GH 或 GK 平面的 1 j0 点 5
12、3 2Nyquist稳定判据 系统 a 因为开环Nyquist轨迹不包围 1 j0 点 且P 0则系统闭环稳定 系统 b 因为开环Nyquist轨迹顺时针包围 1 j0 点2圈 且P 0则系统闭环不稳定 且不稳定的极点数 Z N 2 例1图 a b 为P 0的系统的开环Nyquist图 判断相应闭环系统的稳定性 5 3 2Nyquist稳定判据 GH GH P 0 P 0 例2已知系统开环传递函数应用Nyquist判据 判别闭环系统的稳定性 因为P 1 所以当N 1时有Z N P 0 系统闭环稳定 当K 1时 Nyquist轨迹逆时针包围 1 j0 点一圈 系统闭环稳定 N 1 当0 K 1时
13、 系统闭环不稳定 N 0 当K 1时 系统临界稳定 Nyquist轨迹穿过 1 j0 点对应F s 穿过 F 平面的原点 5 3 2Nyquist稳定判据 例3已知系统开环传递函数 系统开环有一个不稳定极点 P 1 而 由 到 变化时 GH 平面的轨迹GK j 逆时针包围点 1 j0 一圈 N 1 因此Z N P 0 系统闭环稳定 5 3 2Nyquist稳定判据 的Nyquist轨迹如图 试分析系统的稳定性 5 3 3开环含有积分环节情况 问题的提出当系统开环传递函数含有积分环节 原点处存在极点 或者在虚轴上存在极点时 由于GK s 在Ls上不再是解析函数 因此不可直接应用Nyquist判据
14、判断闭环系统的稳定性 解决这一问题的基本思路是 用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点 即将这些极点划到s左半平面 从而使得GK s 在Ls上仍然是解析函数 原点处右半圆弧的数学方程 r 0时系统开环传递函数 s 平面原点处极点所对应的Nyquist轨迹 s rej r 0 系统开环传递函数 从0 0 其Nyquist轨迹为 GH 上幅值为无穷大 弧度为 v 2的圆弧 5 3 3开环含有积分环节情况 从0 2 s 平面 Gk 平面 原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹 1 一般情况 5 3 3开环含有积分环节情况 其辅助线的起始点始终在无穷远的正实轴上 如果是非最小相位系统 且v
15、2 应如何作辅助线 对于最小相位系统 应当以半径为无穷大的圆弧顺时针方向连接正实轴端和G j H j 轨迹的起始端 5 3 3开环含有积分环节情况 原点处有极点的系统开环Nyquist轨迹 2 最小相位系统 例1已知系统开环传递函数 和开环Nyquist图 应用Nyquist判据判断闭环系统的稳定性 由于开环Nyquist轨迹顺时针包围 1 j0 两圈 且P 0 则闭环系统不稳定 且不稳定极点数Z 2 5 3 3开环含有积分环节情况 例2系统的开环传递函数为其开环Nyquist图如下 判断系统稳定性 5 3 3开环含有积分环节情况 Gk j 随频率的增加而单调衰减 例3单位反馈系统的开环传递函
16、数为应用Nyquist判据判别闭环系统的稳定性 5 3 3开环含有积分环节情况 0 A 0 0 180 A 0 180 例4系统的开环传递函数 绘制其Nyquist轨迹 并判别闭环系统的稳定性 T1T2 Nyquist轨迹顺时针包围 1 j0 点2次 N 2 而P 0 即Z N P 2系统闭环不稳定 5 3 3开环含有积分环节情况 课后作业 教材186页 5 9 1 2 5 9 3 选做题 要求作出 从 Nyquist轨迹 5 3Nyquist稳定判据 本节教学内容 5 4 1Nyquist图与Bode图的对应关系 5 4 2相位穿越的概念 5 4 3Bode稳定判据 本节教学要求 1 掌握Nyquist图与Bode图的对应关系 2 熟悉Nyquist图与Bode图的相位穿越的概念 3 掌握用Bode判据分析系统稳定性的方法 5 4Bode稳定判据 5 系统的稳定性 5 4 1Nyquist图与Bode图的对应关系 5 4 1Nyquist图与Bode图的对应关系 穿越频率 幅值穿越频率 cNyquist图 Nyquist轨迹与单位圆的交点频率 Bode图 对数幅频特性与0dB线的交点
