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1、. . .3.5 Fisher分类器（Fisher Linear Discriminant）w1类w2类q判为w1判为w20xp1xp2图3.4, Fisher判别法几何原理示意图Fisher判别法是历史上最早提出的判别方法之一，其基本思想是将n类m维数据集尽可能地投影到一个方向（一条直线），使得类与类之间尽可能分开。从形式上看，该方法就是所谓的一种降维处理方法。为简单起见，我们以两类问题w1和w2的分类来说明Fisher判别法的原理，如图3.4所示。设数据阵为XRNm，w1共有N1个样本，w2共有N2个样本，N= N1+N2。两个类别在输入空间的均值向量为设有一个投影方向，这两个均值向量在该
2、方向的投影为在方向，两均值之差为类似地，样本总均值向量在该方向的投影为定义类间散度(Between-class scatter)平方和SSB为其中定义类wj的类内散度(Within-class scatter)平方和为两个类的总的类内散度误差平方和为其中，我们的目的是使类间散度平方和SSB与类内散度平方和SSw的比值为最大，即图3.5a, Fisher判别法类间散度平方和（分子）的几何意义w1类w2类q0xp1xp2图3.5b, Fisher判别法类内散度平方和（分母）的几何意义w1类w2类q0xp1xp2图3.5给出了类间散度平方和SB与类内散度平方和SE的几何意义。根据图3.5a，类间散度
3、平方和SB的另一种表示方式为这里可以证明，(3.48)与(3.42)只相差一个系数。简单证明如下：由于由(3.42)得这说明，(3.48)与(3.42)只相差一个与样本数有关的常数。根据图3.5b，类内散度平方和SSE的另一种表示方式为这正是(3.44)。下面分析怎样确定最佳投影方向。显然， SB、SW均为对称阵，于是，=，且SW= 。令，则，代入(3.46)，得使(3.52)为最大，等价于求最大特征值 对应的特征向量。即我们知道，于是，(3.53)可写成这说明，得方向与的方向一致，即因此，在应用过程中，我们往往不必求出类间散度阵。与输入空间维数相等，或者说，投影方向过原点。设分类阈值为q，则
4、判别公式为确定q的一些经验公式为(1) 取两个类别均值在方向投影的简单平均(2) 考虑样本数的两个类别均值在方向投影的平均或(3) 考虑类方差的两个类别均值在方向投影的平均或这里，、分别为两个类别在方向投影的均方差。当然，当类内散度阵不可逆时，Fisher判别法失效。例5 在研究地震预报中，遇到沙基液化问题，选择了下列7个有关的因素：x1：震级,x2：震中距（公里）,x3：水深（米），x4：土深（米）x5：贯入值，x6：最大地面加速度（10-2N/m2），x7：地震持续时间（秒）。具体数据如表1所示。x1x2x3x4x5x6x7类别序号6.6391.06.06.00.1220I16.6391.
5、06.0120.1220I26.1471.06.06.00.0812I36.1471.06.0120.0812I48.4322.07.5190.3575I57.26.01.07.0280.3030I68.41133.56.0180.1575I77.5521.06.0120.1640I87.5523.57.56.00.1640I98.31130.07.5350.12180I107.81721.03.5140.2145I117.81721.53.0150.2145II128.4321.05.04.00.3575II138.4322.09.0100.3575II148.4322.54.0100.35
6、75II156.3114.57.53.00.2015II167.08.04.54.59.00.2530II177.08.06.07.54.00.2530II187.08.01.56.01.00.2530II198.31611.54.04.00.0870II208.31610.52.51.00.0870II217.26.03.54.0120.3030II227.26.01.03.03.00.3030II237.26.01.06.05.00.3030II245.56.02.53.07.00.1818II258.41133.54.56.00.1575II268.41133.54.58.00.1575
7、II277.5521.06.06.00.1640II287.5521.07.58.00.1640II298.3970.06.05.00.15180II308.3972.56.05.00.15180II318.3890.06.0100.16180II328.3561.56.0130.25180II337.81721.03.56.00.2145II347.82831.04.56.00.1845II35解，设数据文件名为d:a.txt，用Matlab实现的源程序如下load d:ss.txt;a=ss;m=mean(a(1:12,:);m(2:2,:)=mean(a(13:35,:);ssb=(m(
8、1:1,:)-m(2:2,:)*(m(1:1,:)-m(2:2,:);ssw=zeros(7,7);for i=1:12,ssw=ssw+(a(i:i,:)-m(1:1,:)*(a(i:i,:)-m(1:1,:);endfor i=13:35,ssw=ssw+(a(i:i,:)-m(2:2,:)*(a(i:i,:)-m(2:2,:);endw=inv(ssw)*(m(1:1,:)-m(2:2,:);result=a*w;theta=w*(m(1:1,:)+m(2:2,:)/2;for i=1:35,result(i:i,2:2)=theta;result(i:i,3:3)=i;end投影方向向
9、量为=(0.0202, -0.0001, -0.0175, 0.0156, 0.0160, -0.7333, -0.0016)T，分类阈值为q=0.1358。决策面方程为p: l(x)=0.0202x1-0.0001x2-0.0175x3+0.0156x4+0.0160x5-0.7333x6-0.0016 x7-0.1358=0.分类结果为序号wTxq=0.1358 (3.58)q=0.1007 (3.59)q=0.1709 (3.60)q=0.1567 (3.61)q=0.1149 (3.62)10.181220.277230.212540.308550.174960.416370.247580.232590.1160*100.4551110.1745120.173913-0.0866140.054215-0.0325160.0414170.044218-0.015319-0.0078200.0797210.0259220.069623-0.0462240.0326250.0645260.0320270.0641280.1365*290.1919*30-0.068731-0.1126320.004833-0.0361340.0464350.0726.专业资料.
