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1、华师数学文化离线作业解答题（每题20分，共60分）1一队战士要过河去，桥被毁了，河水又冷又深，怎么办呢？这时候，他们发现有两个小孩，驾一条小船向岸边划来。可是，船太小了，每次只能渡一个战士，或者两个小孩。后来，战士们都渡过河去了，用的就是这条小船。他们是怎样渡过去的呢？解：一队战士：两个小孩先过河去，留下一个，另一个驾船回来，下船，让一个战士乘船过河去。然后，由留在对岸的小孩驾船回来，把另一个小孩带到对岸后，留下，再把船划回来，下船，让第二个战士乘船过河。就这样，小船每两次往返过河，就有一个战士渡过河去。有多少战士，就重复多少次。2 A、B 两个城市，相距三百公里。有两个骑自行车的少年，在同一
2、时间，分别从这两个城市出发，以每小时五十公里的速度，沿着同一条路迎面骑来。有一只苍蝇，以每小时一百公里的速度，与A 城骑车少年一同飞出。苍蝇超过骑车少年，向着B 城骑车少年迎面飞去，与他相遇后，又立即转身朝A 城骑车少年飞去，与他相遇后，又回过头来迎着B 城骑车少年飞去。苍蝇这样飞来飞去，直到两个骑车少年相会，便停在一个骑车少年的帽子上。请问：苍蝇飞了多少公里？解：由于两个少年的速度相同，因此A和B分别骑了 3002=150（公里） 两个骑车少年相会时各骑了 15050=3（ 小时）。苍蝇不停地飞了3 小时，它飞了3 100 300 （公里）。3在运河上，有A、B、C 三条轮船相继行进，迎面有
3、D、E、F 三条轮船相继驶来。运河很狭窄，连两条轮船都不能错开。可是，在运河的一边有一段河湾，在那里可以停一条轮船。这样，要使六条轮船各自沿着原先的航线行进，能错开吗？不要忘了，轮船可以前进，也可以后退。解：A 开进河湾，B、C 后退，D、E、F 从A 的旁边开过去。然后，A 开出河湾，按航线向前行驶；F、E、D 向后退到原先的位置。用同样的办法，让B、C 也先后错过去。这样，所有的轮船就可以沿着各自的航线行驶了。论述题（每题20分，共40分）1. 详细谈谈你所喜欢的或熟悉的一位数学家，并谈谈给予你的启示。答：首先，我们应学习他“按练古今，博采沈臭”的治学方法和精神。比如，祖冲之曾对九章算术做
4、过注解，这不仅需要阅读前人留下的大量文献资料，而且要对别人的成果进行深人的思考与分析，才能为自己所用。在我们的学习过程中，既要认真学好课本上的基础知识，并广泛阅读以开阔眼界，又要多思多想多动手，同时注重与他人的交流。这样我们才能把书本上的知识变成自己头脑中的知识，使他人成功的经验为己所用。其次，我们要学习祖冲之“不虚推古人”的态度，时刻有创新的意识在的计算史上，刘歆、张衡及刘徽都曾得到非常出色的结果，他们所用的算法也是当时世界上极为先进的。但祖冲之并不满足于前人已有的结果，他在刘徽割圆术的基础上“更开密法”，计算出位于3.1415926与3.1415927之间，直到千年以后外国数学家才求出更精
5、确的数值。何承天曾得到圆周率的约率，祖冲之更进一步得到密率(日本学者三上义夫把它定名为“祖率”)，所用的算法已“走上了近代渐近值论的大道。”祖冲之对的计算过程对我们可以有这样的启示：凡事不应满足前人已有的成果，停步不前，创新意识要时刻存在于我们的头脑中。最后，我们应该学习祖冲之那种坚韧不拔的毅力与不怕吃苦的精神。祖冲之坚持对前人的结果“咸加该验”，付出了巨大的劳动。正是因为他这种严谨的治学态度及坚韧不拔的毅力，才算出了名垂千古的圆周率及祖率，才写出了缀术。今天，我们如果有他这样的精神与毅力，学习定会更加出色，做任何事的结果都将是“成功”。特别地，我们可以从祖冲之身上看到数学是非常有用的。祖冲之
6、曾制订大明历，导致历史上有名的历法改革，这是他用数学研究天文学的最大成果。中国古代的数学最大的特点就是实用思想，祖冲之继承了这一传统。今天的世界是高科技的时代，高科技的发展更是离不开数学。生活中的事物总是与数学相关的，只要用心我们就会发现数学无处不在，关键在于是否具有用数学的意识。华罗庚先生在1964年曾说：“祖冲之虽已去世一千四百多年，但他的广泛吸收古人成就而不为其所拘泥、艰苦劳动、勇于创造和敢于坚持真理的精神，仍旧是我们应当学习的榜样。”公元2000年恰逢这位伟大的先人逝世一千五百周年，纪念他的同时，特别需要以他的科学精神与方法勉励我们不断进步，以新的进取创新的精神走进新世纪。2. 从19
7、00年到1930年这三十年间，许多数学家就数学的哲学基础这一问题展开了讨论，并形成了不同的数学基础学派，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三大数学学派，谈谈你对这三大学派的认识。答：十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石，而
8、它所引起的巨大反响导致了第三次数学危机。罗素悖论使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派。 从1900年到30年这三十年间，许多数学家就数学的哲学基础这一问题展开了讨论，并形成了不同的数学基础学派，主要有逻辑主义、形式主义和直觉主义三大学派 逻辑主义 “数学即逻辑”逻辑主义的主要代表人物是罗素， 在数学的原理及数学原理中，罗素的目标在于证明“数学和逻辑是全等的”这个逻辑主义论题，它可以分析为三部分内容：1、每条数学真理都能够表示为完全用逻辑表
9、达或表示的语言。简单来讲，即每条数学真理都能够表示为真正的逻辑命题。2、每一条真的逻辑命题如果是一条数学真理的翻译，则它就是逻辑真理。 3、每条数学真理一旦表示为一个逻辑命题，就可由少数逻辑公理及逻辑规则推导出来。 形式主义 一般认为形式主义的奠基人是希尔伯特。希尔伯特建议两条最基本的原则：一、形式主义原则：所有符号完全看做没有意义的内容，即使将符号、公式或证明的任何有意的意义或可能的解释也不管，而只是把它们看作纯粹的形式对象，研究它们的结构性质；二、有限主义原则，即总能在有限机械步骤之内验证形式理论之内一串公式是否一个证明。应用数学方法于这样一个形式理论，避免涉及无穷的推断，这就排除了康托尔
10、集合论的方法。这个思想是只应用靠得住的方法，因为要证明数学或其一部分无矛盾的方法是大家公认可靠的，整个数学才有牢固的基础。直觉主义直觉主义的奠基者和代表人物是荷兰数学家克劳威尔。在数学哲学中，直觉主义,或者新直觉主义 (对应于前直觉主义),是用人类的构造性思维活动进行数学研究的方法。 任何数学对象被视为思维构造的产物，所以一个对象的存在性等价于它的构造的可能性。这和经典的方法不同，因为经典方法说一个实体的存在性可以通过否定它的不存在性来证明。对于直觉主义者，这是不正确的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的构造证明。正因为如此，直觉主义是数学结构主义的一种；但它不是唯一的一类。直觉主义把数学命题的正确性和它可以被证明等同起来；如果数学对象纯粹是精神上的构造还有什么其它法则可以用作真实性的检验呢(如同直觉主义者会争论的一样)？这意味着直觉主义者可能和经典的数学家对一个数学命题的含义有不同理解。例如，说A 或 B, 对于一个直觉主义者，是宣称A或B可以证明。特别的有，排中律, A 或 非 A, 是不被允许的，因为不能假设人们总是能够证明命题A或它的否命题。(参看直觉逻辑.) 直觉主义也拒绝实际无穷的抽象；也就是说，它不考虑象所有自然数的集合或任意有理数的序列无穷这样的无穷实体作为给定对象。这要求将集合论和微积分的基础分别重新构造为构造主义集合论和构造主义分析。
