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1、 立体几何 第七章 第三节空间点 直线 平面的位置关系 1 理解空间直线 平面位置关系的定义 2 了解可以作为推理依据的公理和定理 3 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 栏 目 导 航 1 四个公理公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 过该点的公共直线 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相 两点 不在一条直线上 有且只有一条 平行 平行 相交 任何 锐角 或直角 直线在平面内 直线与平面相交 直线与平面平行 平行 相交 两边分别对应平行 1 唯
2、一性定理 1 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2 过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直 3 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行 4 过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 2 异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线 3 求异面直线所成的角的方法为平移法 平移的方法一般有3种类型 1 利用图形中已有的平行线平移 2 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 3 补形平移 计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行 3 两个平面 有一个公共点A 就说 相交于A点 并记作 A 4 两个平面ABC与DBC相交于线段BC 5 经过两条相交
3、直线 有且只有一个平面 6 没有公共点的两条直线是异面直线 解析A选项考查公理2 即三点必须不在同一条直线上 才能确定平面 B选项如果点在直线上 则该直线和这个点不能确定平面 C选项中的四边形有可能是空间四边形 只有D是正确的 D 3 P52B组T1 2 改编 如图所示 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是AB AD的中点 则异面直线B1C与EF所成的角的大小为 A 30 B 45 C 60 D 90 解析连接B1D1 D1C 图略 则B1D1 EF 故 D1B1C为所求的角 又B1D1 B1C D1C D1B1C 60 C 4 2019 江苏无锡月考 若空间三条直线a b c满
4、足a b b c 则直线a与c A 一定平行B 一定相交C 一定是异面直线D 一定垂直 解析因为b c a b 所以a c 即a与c垂直 D 5 2019 浙江台州月考 已知互相垂直的平面 交于直线l 若直线m n满足m n 则 A m lB m nC n lD m n 解析由已知 l l 又 n n l C正确 C 师生共研 变式探究 本例条件不变 如何证明 CE D1F DA交于一点 共面 共线 共点问题的证明 1 证明点或线共面问题的两种方法 首先由所给条件中的部分线 或点 确定一个平面 然后再证其余的线 或点 在这个平面内 将所有条件分为两部分 然后分别确定平面 再证两平面重合 2 证
5、明点共线问题的两种方法 先由两点确定一条直线 再证其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 3 证明线共点问题的常用方法是 先证其中两条直线交于一点 再证其他直线经过该点 训练1 如图是正方体或四面体 P Q R S分别是所在棱的中点 则这四个点不共面的一个图是 解析A B C图中四点一定共面 D中四点不共面 D 训练2 如图 在四边形ABCD中 已知AB CD 直线AB BC AD DC分别与平面 相交于点E G H F 求证 E F G H四点必定共线 证明因为AB CD 所以AB CD确定一个平面 又因为AB E AB 所以E E 即E为平面 与 的一个公共点 同理可证
6、F G H均为平面 与 的公共点 因为若两个平面有公共点 那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线 所以E F G H四点必定共线 1 若直线l1和l2是异面直线 l1在平面 内 l2在平面 内 l是平面 与平面 的交线 则下列命题正确的是 A l与l1 l2都不相交B l与l1 l2都相交C l至多与l1 l2中的一条相交D l至少与l1 l2中的一条相交 自主完成 D 解析若l与l1 l2都不相交 则l l1 l l2 l1 l2 这与l1和l2异面矛盾 l至少与l1 l2中的一条相交 2 已知a b c为三条不重合的直线 已知下列结论 若a b a c 则b c 若a b a c 则b
7、c 若a b b c 则a c 其中正确的个数为 A 0B 1C 2D 3 解析在空间中 若a b a c 则b c可能平行 也可能相交 还可能异面 所以 错 显然成立 B 3 2019 广东湛江月考 已知空间三条直线l m n 若l与m异面 且l与n异面 则 A m与n异面B m与n相交C m与n平行D m与n异面 相交 平行均有可能 解析在如图所示的长方体中 m n1与l都异面 但是m n1 所以A B错误 m n2与l都异面 且m n2也异面 所以C错误 D 空间两条直线位置关系的判断方法 1 对于异面直线 可采用直接法或反证法 2 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 公理4
8、及线面平行与面面平行的性质定理 3 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 师生共研 C 图 平移法求异面直线所成的角的三步法 1 一作 根据定义作平行线 作出异面直线所成的角 2 二证 证明作出的角是异面直线所成的角 3 三求 解三角形 求出所作的角 如果求出的角是锐角或直角 则它就是要求的角 如果求出的角是钝角 则它的补角才是要求的角 训练 如图 E F分别是三棱锥P ABC的棱AP BC的中点 PC 10 AB 6 EF 7 则异面直线AB与PC所成的角为 解析取AC的中点D 连接DE DF 图略 则DE PC DF AB EDF或其补角为异面直线AB与PC所成的角 利用余弦定理可求得 EDF 120 所以异面直线AB与PC所成的角为60 60
