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1、第二章 方程与不等式 第7课 一元二次方程 1 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 1 常用的解法 配方法 因式分解法 公式法 2 求根公式 一 考点知识 2 b2 4ac叫做一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根的判别式 1 当b2 4ac 0时 方程有两个不等的实数根 2 当b2 4ac 0时 方程 3 当b2 4ac0 方程有两个不等的实数根 考点3 一元二次方程根与系数关系 例3 关于x的一元二次方程x2 2x k 1 0 的实数根是x1和x2 1 求k的取值范围 2 如果x1 x2 x1x2 1且k为整数 求k的值 解 1 方程有实数根 根的判别式 22 4 k 1 0
2、 解得 k 0 k的取值范围是k 0 2 根据一元二次方程根与系数的关系 得x1 x2 2 x1x2 k 1 x1 x2 x1x2 2 k 1 由已知 得 2 k 1 1 解得k 2 由 1 得方程有两个实数根 则k 0 2 k 0 k为整数 k的值为 1和0 变式3 已知关于x的方程x2 mx 6 0的一个 根为2 求m的值和另一个根 解 m 1 另一根x1 3 方法一 把x 2代入方程 求出m的值 再利用两根和 或两根积的关系求出另一根 方法二 利用两根积的关系求出另一个根 再利用两根 和的关系或方程根的定义求m的值 A组 1 一元二次方程x2 x 2 0的根的情况是 A 有两个相等的实数
3、根 B 无实数根 C 有两个不等的实数根 D 无法确定 三 过关训练 3 若x1 x2是方程x2 x 1 0的两根 则x1 x2的值为 x1x2的值为 2 关于x的一元二次方程x2 4x 2k 0有两个实数根 则k的 取值范围是 B k 2 1 1 4 解方程 1 x2 2x 2 2y2 2y 1 0 3 x 1 x 2 2 x 2 解 x1 2 x2 3 提示 用因式分解法求解 解 提示 用求根公式法求解 解 x1 0 x2 2 提示 用因式分解法求解 B组 5 若a b是方程x2 5x 2 0的两个根 求下列各式的值 1 ab2 a2b 2 3 a 1 b 1 4 a2 b2 解 由根与系
4、数关系得a b 5 ab 2 1 ab2 a2b ab a b 2 5 10 2 3 a 1 b 1 ab a b 1 2 5 1 8 4 a2 b2 a2 b2 2ab 2ab a b 2 2ab 52 2 2 21 6 已知关于x的一元二次方程x2 k 1 x 3 0 1 求证 该方程一定有两个不等的实数根 2 若方程的一根为2 求方程的另一根 1 证明 根的判别式 k 1 2 4 3 k 1 2 12 0 所以方程一定有两个不等的实数根 2 解 设方程的另一根为x1 则2x1 3 解得 所以另一根为 7 已知关于x的一元二次方程 mx2 2m 1 x m 1 0 1 若方程有两个实数根 求m的取值范围 2 若3是方程的一个根 求m的值和另一个根 解 1 方程根的判别式 2m 1 2 4m m 1 8m 1 方程有两个实数根 8m 1 0 解得 又 m 0 m的取值范围是 且m 0 2 把x 3代入方程 得9m 3 2m 1 m 1 0 解得m 1 所以把m 1代入原方程 得x2 3x 0 设另一根为x1 则根据根与系数关系得3x1 0 解得x1 0 所以m的值为1 方程的另一根为0
