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1、第9节函数模型及其应用 最新考纲1 了解指数函数 对数函数 幂函数的增长特征 结合具体实例体会直线上升 指数增长 对数增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 知识梳理 1 指数 对数 幂函数模型性质比较 递增 递增 y轴 x轴 2 几种常见的函数模型 微点提醒 1 直线上升 是匀速增长 其增长量固定不变 指数增长 先慢后快 其增长量成倍增加 常用 指数爆炸 来形容 对数增长 先快后慢 其增长速度缓慢 2 充分理解题意 并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键 3 易忽视实际问题中自变量的取值范围
2、需合理确定函数的定义域 必须验证数学结果对实际问题的合理性 基础自测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 某种商品进价为每件100元 按进价增加10 出售 后因库存积压降价 若按九折出售 则每件还能获利 2 函数y 2x的函数值比y x2的函数值大 4 在 0 上 随着x的增大 y ax a 1 的增长速度会超过并远远大于y xa a 0 的增长速度 2 中 当x 2时 2x x2 4 不正确 答案 1 2 3 4 2 必修1P107A1改编 在某个物理实验中 测得变量x和变量y的几组数据 如下表 则对x y最适合的拟合函数是 A y 2xB y x2 1C y 2x 2D y log2
3、x 解析根据x 0 50 y 0 99 代入计算 可以排除A 根据x 2 01 y 0 98 代入计算 可以排除B C 将各数据代入函数y log2x 可知满足题意 答案D 3 必修1P59A6改编 某公司为激励创新 计划逐年加大研发资金投入 若该公司2017年全年投入研发资金130万元 在此基础上 每年投入的研发资金比上一年增长12 则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 参考数据 lg1 12 0 05 lg1 3 0 11 lg2 0 30 A 2020年B 2021年C 2022年D 2023年 解析设经过n年资金开始超过200万元 即130 1 12 n 200 两边取
4、对数 得n lg1 12 lg2 lg1 3 从2021年开始 该公司投入的研发资金开始超过200万元 答案B A 36万件B 18万件C 22万件D 9万件 答案B 5 2018 黄冈检测 已知f x x2 g x 2x h x log2x 当x 4 时 对三个函数的增长速度进行比较 下列选项中正确的是 A f x g x h x B g x f x h x C g x h x f x D f x h x g x 解析在同一坐标系内 根据函数图象变化趋势 当x 4 时 增长速度由大到小依次g x f x h x 答案B 6 2019 北京海淀区月考 某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的
5、奖励方案 在销售额x为8万元时 奖励1万元 销售额x为64万元时 奖励4万元 若公司拟定的奖励模型为y alog4x b 某业务员要得到8万元奖励 则他的销售额应为 万元 答案1024 考点一利用函数的图象刻画实际问题 例1 2017 全国 卷 某城市为了解游客人数的变化规律 提高旅游服务质量 收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量 单位 万人 的数据 绘制了下面的折线图 根据该折线图 下列结论错误的是 A 月接待游客量逐月增加B 年接待游客量逐年增加C 各年的月接待游客量高峰期大致在7 8月D 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月 波动性更小 变化比较平稳 解
6、析由题图可知 2014年8月到9月的月接待游客量在减少 则A选项错误 答案A 规律方法1 当根据题意不易建立函数模型时 则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点 结合图象的变化趋势 验证是否吻合 从中排除不符合实际的情况 选出符合实际情况的答案 2 图形 表格能直观刻画两变量间的依存关系 考查了数学直观想象核心素养 训练1 高为H 满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示 其底部破了一个小洞 满缸水从洞中流出 若鱼缸水深为h时水的体积为v 则函数v f h 的大致图象是 解析v f h 是增函数 且曲线的斜率应该是先变大后变小 故选B 答案B 考点二已知函数模型求解实际问题 1 求k的值及f x 的表
7、达式 2 隔热层修建多厚时 总费用f x 达到最小 并求最小值 此时x 5 因此f x 的最小值为70 隔热层修建5cm厚时 总费用f x 达到最小 最小值为70万元 规律方法1 求解已知函数模型解决实际问题的关注点 1 认清所给函数模型 弄清哪些量为待定系数 2 根据已知利用待定系数法 确定模型中的待定系数 2 利用该函数模型 借助函数的性质 导数等求解实际问题 并进行检验 解设该服装厂所获效益为f x 元 所以当x 20时 f x 有最大值120000 令f x 0 x 80 当200 f x 单调递增 当80 x 180时 f x 0 f x 单调递减 所以当x 80时 f x 有极大值
8、 也是最大值240000 由于120000 240000 故该服装厂所获得的最大效益是240000元 考点三构造函数模型求解实际问题多维探究角度1二次函数 分段函数模型 例3 1 活水围网 养鱼技术具有养殖密度高 经济效益好的特点 研究表明 活水围网 养鱼时 某种鱼在一定的条件下 每尾鱼的平均生长速度v 单位 千克 年 是养殖密度x 单位 尾 立方米 的函数 当x不超过4尾 立方米时 v的值为2千克 年 当4 x 20时 v是x的一次函数 当x达到20尾 立方米时 因缺氧等原因 v的值为0千克 年 1 当0 x 20时 求函数v关于x的函数解析式 2 当养殖密度x为多大时 鱼的年生长量 单位
9、千克 立方米 可以达到最大 并求出最大值 解 1 由题意得当0 x 4时 v 2 当4 x 20时 设v ax b a 0 显然v ax b在 4 20 内是减函数 2 设年生长量为f x 千克 立方米 依题意 当0 x 4时 f x 为增函数 故f x max f 4 4 2 8 所以当0 x 20时 f x 的最大值为12 5 故当养殖密度为10尾 立方米时 鱼的年生长量可以达到最大 最大值为12 5千克 立方米 角度2构建指数 对数 型函数模型 1 求每年砍伐面积的百分比 2 到今年为止 该森林已砍伐了多少年 解 1 设每年砍伐面积的百分比为x 0 x 1 故到今年为止 该森林已砍伐了5
10、年 规律方法1 指数函数 对数函数模型解题 关键是对模型的判断 先设定模型 将有关数据代入验证 确定参数 求解时要准确进行指 对数运算 灵活进行指数与对数的互化 2 实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出 而是由几个不同的关系式构成 如出租车计价与路程之间的关系 应构建分段函数模型求解 但应关注以下两点 分段要简洁合理 不重不漏 分段函数的最值是各段的最大 或最小 值中的最大 或最小 值 训练3 1 某单位为鼓励职工节约用水 作出了以下规定 每位职工每月用水不超过10m3的 按每立方米m元收费 用水超过10m3的 超过部分加倍收费 某职工某月缴水费16m元 则该职工这个月实际用水为
11、A 13m3B 14m3C 18m3D 26m3 A 1033B 1053C 1073D 1093 解析 1 设该职工用水xm3时 缴纳的水费为y元 则10m x 10 2m 16m 解得x 13 答案 1 A 2 D 思维升华 解函数应用问题的步骤 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择数学模型 2 建模 将自然语言转化为数学语言 将文字语言转化为符号语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 解模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将数学问题还原为实际问题 以上过程用框图表示如下 易错防范 1 解应用题思路的关键是审题 不仅要明白 理解问题讲的是什么 还要特别注意一些关键的字眼 如 几年后 与 第几年后 学生常常由于读题不谨慎而漏读和错读 导致题目不会做或函数解析式写错 故建议复习时务必养成良好的审题习惯 2 在解应用题建模后一定要注意定义域 建模的关键是注意寻找量与量之间的相互依赖关系 3 解决完数学模型后 注意转化为实际问题写出总结答案
