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1、专题层级快练(二十)1若a2,则函数f(x)x3ax21在区间(0,2)上恰好有()A0个零点B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f(x)x22ax,且a2,当x(0,2)时,f(x)0,f(2)4a0,则a的取值范围是()A(2,) B(,2)C(1,) D(,1)答案B解析方法一:当a0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意当a0时,f(x)3ax26x,令f(x)0,解得x10,x2.当a0时,0,所以函数f(x)ax33x21在(,0)与(,)上为增函数,在(0,)上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x00,则f(0)0,即10,不成立当a0时,0,则f()0,即a310
2、,解得a2或a2,又因为a0;x(0,)时,f(x)0,注意f(0)1,f()0,则f(x)的大致图像如图(1)所示,不符合题意,排除A,C. 当a时,f(x)4x26x2x(2x3),则当x(,)时,f(x)0,x(0,)时,f(x)2时,f(x)0,函数单调递增,故函数f(x)在(,1)和(2,)上单调递增,在(1,2)上单调递减(2)由(1)得f(x)x3x22xc,函数f(x)在(,1),(2,)上是增函数,在(1,2)上是减函数,所以函数f(x)的极大值为f(1)c,极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点,故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是(,)
3、5(2019东北四校联考)已知f(x)3,F(x)lnx3x2.(1)判断f(x)在(0,)上的单调性;(2)判断函数F(x)在(0,)上零点的个数答案(1)f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增 (2)3个解析(1)f(x),令f(x)0,解得x1,令f(x)0,解得0x1,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,)上单调递增(2)F(x)f(x)3,由(1)得x1,x2,满足0x11x2,使得f(x)在(0,x1)上大于0,在(x1,x2)上小于0,在(x2,)上大于0,即F(x)在(0,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,)上单调递增,而F(1)0,
4、x0时,F(x),x时,F(x),画出函数F(x)的草图,如图所示故F(x)在(0,)上的零点有3个6已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx(aR)(1)当a1时,求f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)在(0,)上无零点,求a的取值范围答案(1)减区间为(0,2),增区间为(2,)(2)23ln3,)解析(1)当a1时,f(x)x12lnx,则f(x)1,由f(x)0,得x2,由f(x)0,得0x2.故f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,)(2)因为f(x)0在区间(0,)上恒成立不可能,故要使函数f(x)在(0,)上无零点,只要对任意的x(0,),f(x)0恒成立,
5、即对x(0,),a2恒成立令h(x)2,x(0,),则h(x),再令m(x)2lnx2,x(0,),则m(x)0,故m(x)在(0,)上为减函数于是m(x)m()42ln30.从而h(x)0,于是h(x)在(0,)上为增函数,所以h(x)h()23ln3,所以a的取值范围为23ln3,)7(2019蓉城名校4月联考)已知函数f(x)xex(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值;(2)若g(x)f(x)a(x22x1)有两个零点,求实数a的取值范围;(3)已知函数h(x)与函数f(x)的图像关于原点对称,如果x1x2,且h(x1)h(x2),证明:x1x22.答案(1)函数f(x)的增区间
6、为(1,),减区间为(,1);函数f(x)在x1处取的极小值f(1),无极大值 (2)(,0)(3)证明略解析(1)根据f(x)exxexex(x1),令f(x)0,解得x1,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表x(,1)1(1,)f(x)0f(x)递减递增函数f(x)的增区间为(1,),减区间为(,1);函数f(x)在x1处取的极小值f(1),无极大值(2)由g(x)xexa(x22x1),得g(x)(x1)(exa)当a0时,g(x)xex,易知函数g(x)只有一个零点,不符合题意当a0时,在(,1)上g(x)0,g(x)单调递增,又g(1)0,当x时,g(x),所以函数g(x)有两个零点当0a0,g(x)单调递增,在(lna,1)上g(x)0,g(x)单调递减又g(lna)alnaa(lna)2a(lna)a(lna)21时,在(,1)和(lna,)上g(x)0,g(x)单调递增;在(1,lna)上g(x)0,g(x)单调递减,又g(1)x2,根据h(x1)h(x2)结合图像可知x11,x21,2x20,e2x210,则F(x)0,f(x)在(1,)上单调递增,又F(1)0,x1时,f(x)F(1)0,即当x1时,h(x)h(2x),则h(x1)h(2x1),又h(x1)h(x2),h(x2)h(2x1),x11,2x12x1,x1x22得证