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1、专题层级快练(二十)1若a2，则函数f(x)x3ax21在区间(0，2)上恰好有()A0个零点B1个零点C2个零点 D3个零点答案B解析f(x)x22ax，且a2，当x(0，2)时，f(x)0，f(2)4a0，则a的取值范围是()A(2，) B(，2)C(1，) D(，1)答案B解析方法一：当a0时，显然f(x)有两个零点，不符合题意当a0时，f(x)3ax26x，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，0，所以函数f(x)ax33x21在(，0)与(，)上为增函数，在(0，)上为减函数，因为f(x)存在唯一零点x0，且x00，则f(0)0，即10，不成立当a0时，0，则f()0，即a310
2、，解得a2或a2，又因为a0；x(0，)时，f(x)0，注意f(0)1，f()0，则f(x)的大致图像如图(1)所示，不符合题意，排除A，C. 当a时，f(x)4x26x2x(2x3)，则当x(，)时，f(x)0，x(0，)时，f(x)2时，f(x)0，函数单调递增，故函数f(x)在(，1)和(2，)上单调递增，在(1，2)上单调递减(2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是(，)
3、5(2019东北四校联考)已知f(x)3，F(x)lnx3x2.(1)判断f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数答案(1)f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增 (2)3个解析(1)f(x)，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，
4、x0时，F(x)，x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示故F(x)在(0，)上的零点有3个6已知函数f(x)(2a)(x1)2lnx(aR)(1)当a1时，求f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(0，)上无零点，求a的取值范围答案(1)减区间为(0，2)，增区间为(2，)(2)23ln3，)解析(1)当a1时，f(x)x12lnx，则f(x)1，由f(x)0，得x2，由f(x)0，得0x2.故f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，)(2)因为f(x)0在区间(0，)上恒成立不可能，故要使函数f(x)在(0，)上无零点，只要对任意的x(0，)，f(x)0恒成立，
5、即对x(0，)，a2恒成立令h(x)2，x(0，)，则h(x)，再令m(x)2lnx2，x(0，)，则m(x)0，故m(x)在(0，)上为减函数于是m(x)m()42ln30.从而h(x)0，于是h(x)在(0，)上为增函数，所以h(x)h()23ln3，所以a的取值范围为23ln3，)7(2019蓉城名校4月联考)已知函数f(x)xex(xR)(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若g(x)f(x)a(x22x1)有两个零点，求实数a的取值范围；(3)已知函数h(x)与函数f(x)的图像关于原点对称，如果x1x2，且h(x1)h(x2)，证明：x1x22.答案(1)函数f(x)的增区间
6、为(1，)，减区间为(，1)；函数f(x)在x1处取的极小值f(1)，无极大值 (2)(，0)(3)证明略解析(1)根据f(x)exxexex(x1)，令f(x)0，解得x1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表x(，1)1(1，)f(x)0f(x)递减递增函数f(x)的增区间为(1，)，减区间为(，1)；函数f(x)在x1处取的极小值f(1)，无极大值(2)由g(x)xexa(x22x1)，得g(x)(x1)(exa)当a0时，g(x)xex，易知函数g(x)只有一个零点，不符合题意当a0时，在(，1)上g(x)0，g(x)单调递增，又g(1)0，当x时，g(x)，所以函数g(x)有两个零点当0a0，g(x)单调递增，在(lna，1)上g(x)0，g(x)单调递减又g(lna)alnaa(lna)2a(lna)a(lna)21时，在(，1)和(lna，)上g(x)0，g(x)单调递增；在(1，lna)上g(x)0，g(x)单调递减，又g(1)x2，根据h(x1)h(x2)结合图像可知x11，x21，2x20，e2x210，则F(x)0，f(x)在(1，)上单调递增，又F(1)0，x1时，f(x)F(1)0，即当x1时，h(x)h(2x)，则h(x1)h(2x1)，又h(x1)h(x2)，h(x2)h(2x1)，x11，2x12x1，x1x22得证
