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1、北京师大附中20182019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题，考试时长120分钟，满分150分。一、选择题，本大题共10小题，共40分，从列出的四个选项中，选出符合要求的一项。 1. 在数列中，且，则等于 A. 8B. 6C. 9D. 7 2. 在三棱锥中，D为BC的中点，则 A. B. C. D. 3. 在等比数列中，且，则这个数列的公比为 A. 3B. C. 9D. 4. 在正方体中，向量和的夹角是 A. B. 60C. 45D. 135 5. 某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足：，若前m年的年平均产量最高，则m值为 A. 5B. 4C. 3D. 2 6. 若数
2、列是公比为q的递增等比数列，则 A. ,q1B. C. D. 7. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是BC，AD的中点，则 A. 0B. C. D. 8. 已知平面ABC，点O是空间任意一点，点M满足条件，则 A. 直线AM与平面ABC平行 B. 直线AM是平面ABC的斜线 C. 直线AM是平面ABC的垂线 D. 直线AM在平面ABC内 9. 已知两个不共线的向量，与平面共面，向量v是直线l的一个方向向量，则“存在两个实数x,y，使”是“l/”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，棱长为2的正方体中，M是棱的中点，点P在
3、侧面内，若垂直于CM，则的面积的最小值为 A. B. C. D. 1二、填空题，本大题共6小题，共30分。 11. 与共线且满足的向量b=_。 12. 已知数列满足：，则数列的前2n项和_。 13. 如图，在正四面体VABC中，直线VA与BC所成角的大小为_；二面角VBCA的余弦值为_。 14. 设数列满足“，”，则的通项公式可以为_。 15. 已知等比数列的前n项和为，则常数C=_ 16. 有一条珍珠项链，上面共有33颗珍珠，最下面中央的那颗珍珠最大，也最有价值，由这颗珍珠往右，越往上的珍珠越小，且价值依次递减100元；同样的，由这颗珍珠往左，越往上方的珍珠也越小，且价值依次递减150元，假
4、设整条珍珠项链的总价值是65000元，则最大的那颗珍珠的价值是_元。三、解答题：共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 17. （本小题13分）已知空间中三点A（2，0，2），B（1，1，2），C（3，0，4），设，（I）若，且，求向量c；（II）已知向量与b互相垂直，求k的值；（III）求的面积。 18. （本小题13分）如图，在直三棱柱中，点D是的中点。（I）求证平面；（II）求二面角的余弦值。 19. （本小题14分）已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列。（I）求数列的通项公式；（II）设数列满足：，求的前n项之和；（III）设数列满足：，为的前n项和，求证
5、：。 20. （本小题14分）如图，在三棱锥中，底面ABC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1（I）求证：；（II）求PM与平面AHB所成的角的正弦值；（III）设点N在线段PB上，且，MN/平面ABC，试写出实数的值（不必证明）。 21. （本小题13分）应届毕业生小李收到了两家公司的录用通知，录用的岗位相同，两家公司均提供税后年薪，且要求签约10年，A公司第一年的年薪为10万元，以后每年上涨20%；B公司第一年的年薪为20万元，以后每年上涨5%。（I）如果只考虑收入水平，不考虑其他因素，你建议小李选择哪家公司？说明理由。（II）十年内A公司提供的该岗位年薪能否超过B公
6、司，若能，请指出从第几年开始，若不能，说明理由。（参考数据：）， 22. （本小题13分）如果数列满足“对任意正整数i，j，都存在正整数k，使得”则称数列具有“性质P”，已知数列是无穷项的等差数列，公差为d（I）试写出一个具有“性质P”的等差数列；（II）若，公差d=3，判断数列是否具有“性质P”，并说明理由。（III）若数列具有“性质P”，求证：且【试题答案】一、选择题，本大题共10小题，共40分 1. D2. A3. B4. B5. C6. B7. D8. D9. B10. A二、填空题，本大题共6小题，共30分11. （2，1，2）12. 13. ；14. (答案不唯一)15. 316. 3000三、解答题：共6个小题，共80分 17. 解：（I），或（2，1，2）（II）5（III）3 18. （I）略（II） 19. （I）（II）；（III） 20. （I）略（II），（III） 21. （I）A公司（II）第7年 22. （I）（II）若，公差d=3，则数列不具有性质P理由如下：由题知，对于和，假设存在正整数k，使得，则有，解得，矛盾！所以对任意的，（III）若数列具有“性质P”，则假设，则对任意的，设，则，矛盾！假设，则存在正整数t，使得设，L，t+1则，但数列中仅有t项小于等于0，矛盾！假设，则存在正整数t，使得设，则，但数列中仅有t项大于等于0，矛盾！综上，
