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1、北京师大附中20182019学年上学期高中二年级期中考试数学试卷本试卷有三道大题,考试时长120分钟,满分150分。一、选择题,本大题共10小题,共40分,从列出的四个选项中,选出符合要求的一项。 1. 在数列中,且,则等于 A. 8B. 6C. 9D. 7 2. 在三棱锥中,D为BC的中点,则 A. B. C. D. 3. 在等比数列中,且,则这个数列的公比为 A. 3B. C. 9D. 4. 在正方体中,向量和的夹角是 A. B. 60C. 45D. 135 5. 某种农产品前n年的总产量与n之间的关系满足:,若前m年的年平均产量最高,则m值为 A. 5B. 4C. 3D. 2 6. 若数
2、列是公比为q的递增等比数列,则 A. ,q1B. C. D. 7. 在棱长为1的正四面体ABCD中,E,F分别是BC,AD的中点,则 A. 0B. C. D. 8. 已知平面ABC,点O是空间任意一点,点M满足条件,则 A. 直线AM与平面ABC平行 B. 直线AM是平面ABC的斜线 C. 直线AM是平面ABC的垂线 D. 直线AM在平面ABC内 9. 已知两个不共线的向量,与平面共面,向量v是直线l的一个方向向量,则“存在两个实数x,y,使”是“l/”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 10. 如图,棱长为2的正方体中,M是棱的中点,点P在
3、侧面内,若垂直于CM,则的面积的最小值为 A. B. C. D. 1二、填空题,本大题共6小题,共30分。 11. 与共线且满足的向量b=_。 12. 已知数列满足:,则数列的前2n项和_。 13. 如图,在正四面体VABC中,直线VA与BC所成角的大小为_;二面角VBCA的余弦值为_。 14. 设数列满足“,”,则的通项公式可以为_。 15. 已知等比数列的前n项和为,则常数C=_ 16. 有一条珍珠项链,上面共有33颗珍珠,最下面中央的那颗珍珠最大,也最有价值,由这颗珍珠往右,越往上的珍珠越小,且价值依次递减100元;同样的,由这颗珍珠往左,越往上方的珍珠也越小,且价值依次递减150元,假
4、设整条珍珠项链的总价值是65000元,则最大的那颗珍珠的价值是_元。三、解答题:共6个小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 17. (本小题13分)已知空间中三点A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4),设,(I)若,且,求向量c;(II)已知向量与b互相垂直,求k的值;(III)求的面积。 18. (本小题13分)如图,在直三棱柱中,点D是的中点。(I)求证平面;(II)求二面角的余弦值。 19. (本小题14分)已知公差不为零的等差数列中,且,成等比数列。(I)求数列的通项公式;(II)设数列满足:,求的前n项之和;(III)设数列满足:,为的前n项和,求证
5、:。 20. (本小题14分)如图,在三棱锥中,底面ABC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,BC=1(I)求证:;(II)求PM与平面AHB所成的角的正弦值;(III)设点N在线段PB上,且,MN/平面ABC,试写出实数的值(不必证明)。 21. (本小题13分)应届毕业生小李收到了两家公司的录用通知,录用的岗位相同,两家公司均提供税后年薪,且要求签约10年,A公司第一年的年薪为10万元,以后每年上涨20%;B公司第一年的年薪为20万元,以后每年上涨5%。(I)如果只考虑收入水平,不考虑其他因素,你建议小李选择哪家公司?说明理由。(II)十年内A公司提供的该岗位年薪能否超过B公
6、司,若能,请指出从第几年开始,若不能,说明理由。(参考数据:), 22. (本小题13分)如果数列满足“对任意正整数i,j,都存在正整数k,使得”则称数列具有“性质P”,已知数列是无穷项的等差数列,公差为d(I)试写出一个具有“性质P”的等差数列;(II)若,公差d=3,判断数列是否具有“性质P”,并说明理由。(III)若数列具有“性质P”,求证:且【试题答案】一、选择题,本大题共10小题,共40分 1. D2. A3. B4. B5. C6. B7. D8. D9. B10. A二、填空题,本大题共6小题,共30分11. (2,1,2)12. 13. ;14. (答案不唯一)15. 316. 3000三、解答题:共6个小题,共80分 17. 解:(I),或(2,1,2)(II)5(III)3 18. (I)略(II) 19. (I)(II);(III) 20. (I)略(II),(III) 21. (I)A公司(II)第7年 22. (I)(II)若,公差d=3,则数列不具有性质P理由如下:由题知,对于和,假设存在正整数k,使得,则有,解得,矛盾!所以对任意的,(III)若数列具有“性质P”,则假设,则对任意的,设,则,矛盾!假设,则存在正整数t,使得设,L,t+1则,但数列中仅有t项小于等于0,矛盾!假设,则存在正整数t,使得设,则,但数列中仅有t项大于等于0,矛盾!综上,