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1、人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 一元二次方程 人教版九年级上册数学 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 目录 A基本概念 B 方程的解 C方程解法 D 拓展训练 E解应用题F趣味故事 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 A 基本概念 基本定义 判定条件 四种形式 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 基本概念 之 成立条件 只含有一个未知数 一元 并且未知数项的最高次数是2 二 次 的整式方程叫做一元二次方程 一元二次方程经过整理都可化成一般形式 ax bx c 0 a 0 定义 ax bx c 0 叫作二次项 a是二次项系数 叫作一次项 b是一次项系
2、数 叫作常数项 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 1 公元前2000年左右 古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了 古埃及的纸草文书 中也涉及到最简单的二次方程 2 大约公元前480年 中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根 九章算术 勾 股章中的第二十题 是通过求相当于 x2 34x 71000 0 的正根而解决的 3 公元628年 印度的婆罗摩笈多 Brahmagupta 约598 约660 出版了 婆罗摩 修正体系 得到了一元二次方程 x2 px q 0 的一个求根公式 4 公元820年 阿拉伯的阿尔 花剌子模 al Khw rizmi 780 810 出版了 代 数学 书中
3、讨论到方程的解法 除了给出二次方程的几种特殊解法外 还第一次给出了 一元二次方程的一般解法 承认方程有两个根 并有无理根存在 5 法国的韦达 1540 1603 除推出一元方程在复数范围内恒有解外 还给出了根与 系数的关系 历史 基本概念 之 基本定义 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 基本概念 之 判定条件 一元二次方程成立必须同时满足三个条件 是整式方程 即等号两边都是整式 方程中如果有分母 且未知数在分母上 那么这个方程就是分 式方程 不是一元二次方程 方程中如果有根号 且未知数在根号内 那么这个方程也不是 一元二次方程 是无理方程 只含有一个未知数 未知数项的最高次数是2
4、判定条件 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 基本概念 之 四种形式 ax bx c 0 a 0 一般形式 变形式 ax bx 0 a 0 ax c 0 a 0 ax 0 a 0 配方式 两根式 b 2a x 2 b2 4ac 4a2 a x x1 x x2 0 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 B 方程的解 含义特点 判别式 韦达定理 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程的解 之 含义特点 含义 一元二次方程的解 根 的意义 能使一元二次方程左右两 边相等的未知数的值称为一元二次方程的解 一般情况下 一 元二次方程的解也称为一元二次方程的根 只含有一个未知
5、数 的方程的解也叫做这个方程的根 特点 由代数基本定理 一元二次方程有且仅有两个根 重根即为 两个相等的根 根的情况由判别式 决定 b2 4ac 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程的解 之 判别式 上述结论反过来也成立 b2 4ac 判别式与根的关系 利用一元二次方程根的判别式 可以判断方程的根的情况 一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的根与判别式 有如下关系 当 0时 方程有两个不相等的实数根 当 0时 方程有两个相等的实数根 当 0时 方程无实数根 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程的解 之 韦达定理 一元二次方程ax bx c 0 a 0 中 两根
6、x1 x2有如下关系 韦达定理 x1 x2 b a x1x2 c a 推导过程 待学完利用求根公式解一元二次方程后 可提示学生自己进行推导 后附求根公式推导过程 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 C 方程解法 基本方法 特殊方法 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 开平方法 1 形如x2 p p 0 或 mx n 2 p p 0 的一元二次方程可采用直接 开平方法解一元二次方程 2 如果方程化成x2 p p 0 的形式 那么可得x p 3 如果方程能化成 mx n 2 p p 0 的形式 那么mx n p 进 而得出方程的根 等号左边是一个数的平方
7、的形式而等号右边是一个常数 降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程 方法是根据平方根的意义开平方 注意 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 开平方法 例题 1 解方程 x 24 1 解 移项得 x 25 x 25 x 5 x1 5 x2 5 2 解方程 3x 1 16 解 3x 1 16 3x 1 16 x 1 4 3 原方程的解为 x1 5 3 x2 1 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 因式分解法 之二 因式分解法 因式分解法是通过将方程右边化为0后 将左边因式分解 变 成两个一元一次方程相乘的形式 从而求
8、得方程的解的方法 1 将方程右边化为0 2 将方程左边分解为两个一次式的积 3 令这两个一次式分别为0 得到两个一元一次方程 4 解这两个一元一次方程 它们的解就是原方程的解 基本步骤 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 因式分解法 1 解方程 x 2x 1 0 解 利用完全平方公式 因式分解得 x 1 0 x 1 例题 2 解方程 x x 1 2 x 1 0 解 利用提公因式法解得 x 1 x 2 0 即 x 2 0 或 x 1 0 x1 2 x2 1 3 解方程 x 4 0 解 利用平方差公式 因式分解得 x 2 x 2 0 即 x 2 0或x 2 0 x
9、1 2 x2 2 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 因式分解法 十字相乘法是因式分解法解 一元二次方程中一个重要的部 分 一元二次方程左边为二次三 项式 形如x p q x pq 0 可化 为 x p x q 0 从而得出 x1 p x2 q 十字相乘法 1 解方程 x 8x 15 0 解 利用十字相乘法 8 3 5 15 3 5 原式可化为 x 3 x 5 0 x1 3 x2 5 例题 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 配方法 之三 配方法 将一元二次方程配成 x m 2 n 的形式 再利用直接开平方法求解的方 法 配方
10、法的理论依据是完全平方公式 配方法的关键是 先将一元二次 方程的二次项系数化为1 然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平 方 把原方程化为一般形式 方程两边同除以二次项系数 使二次项系数为1 并把常数项移到方程右边 方程两边同时加上一次项系数一半的平方 把左边配成一个完全平方式 右边化为一个常数 进一步通过直接开平方法求出方程的解 如果右边是非负数 则方程有两个实根 如果右边是一个负数 则方程有一对共轭虚根 基本步骤 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 配方法 配方法的口诀 二次系数化为一 分开常数未知数 一次系数一半方 两边加上最相当 1 解方程 x 2x
11、 3 0 解 把常数项移项得 x 2x 3 等式两边同时加1 构成完全平方式 得 x 2x 1 4 配方得 x 1 4 x1 3 x2 1 例题 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 公式法 之四 公式法 公式法是通过将方程化成一般形式后 根据判别式的三种情况 求得方程的解的方 法 把方程化成一般形式ax bx c 0 a 0 确定a b c的值 注意符号 求出判别式 的值 判断根的情况 当 0 方程有两个不相等的根 当 0时 方程有两个相等的根 当 0时 方程无实数根 基本步骤 b2 4ac b b2 4ac 2a x1 b b2 4ac 2a x2 b 2a
12、 x 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 基本方法 公式法 例题 1 解方程 2x2 8x 5 解 将方程化为一般形式 2x2 8x 5 0 a 2 b 8 c 5 b2 4ac 8 2 4 2 5 64 40 24 0 x 原方程的解为 x1 x2 2 2 8 24 2 4 6 2 4 6 2 解方程 4x2 3x 1 0 解 由原式可知 a 4 b 3 c 1 b2 4ac 3 2 4 4 1 7 0 在实数范围内 负数不能开平方 方程无实数根 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 特殊方法 赋值法 之五 赋值法 赋值法是利用韦达定理中两根关系
13、来解部分一元二次方程的方法 现将方程 ax bx c 0 a 0 同时除以a 得到x x 0 设x1 m x2 m m 0 根据韦达定理可得 x1 x2 将第二步中的设定代入 求得m 再求得x1 x2 基本步骤 b a c a b 2a b 2a c a 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 方程解法 之 特殊方法 赋值法 例题 1 解方程 2x 140 x 1650 0 解 第一步将方程两边同时除以a 2 方程化为 x 70 x 825 0 此时可知 35 设x1 35 m x2 35 m m 0 根据韦达定理可知 x1 x2 825 则有 35 m 35 m 825 解得 m 20
14、 方程的解为 x1 55 x2 15 b 2a 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 D 拓展训练 推导求根公式 几何意义 韦达定理 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 拓展训练 之 求根公式推导 第一步 约分第二步 配方 第三步 通分第四步 开平方 一元二次方程 ax bx c 0 a 0 求根公式推导过程如下 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 拓展训练 之 几何意义 一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的几何意义 一元二次方程 ax bx c 0 a 0 的根的几何意义是二次函数 y ax bx c a 0 的图像 为一条抛物线 与x轴交点的x坐标 说明
15、 本表只例举a 0时 抛物线开口向上 的情况 当a 0时 抛物线开口向下 但根与判别式关 系不变 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 E 解应用题 一般步骤 精选例题 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 解应用题 之 一般步骤 审 读懂题目 审清题意 明确已知与未知条件及其数量关系 设 设未知数 包括直接设未知数和间接设未知数两种 主要根据题目特点来选择合适的设未知数方 式 列 根据题目给出的条件 利用等量关系 列出方程 解 求出所列方程的正确解 验 对求出的方程解进行检验 一看是否能使方程成立 二看是否符合题意和生活实际 如不符合则 应舍去 答 一般遵循 问什么答什么 怎
16、么问怎么答 列一元二次方程解应用题的一般步骤 可归纳为 审 设 列 解 验 答 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 解应用题 之 精选例题 1 有一人患了流感 经过两轮传染后共有121人患了流感 每轮传染中平均一个人 传染了几个人 解 设每轮传染中平均一个人传染了x个人 可传染人数 共传染人数 第0轮 1 传染源 1 第1轮 x x 1 第2轮 x x 1 1 x x x 1 列方程 1 x x x 1 121 化简为 x2 2x 120 0 解方程 得x1 10 x2 12 检验可知 x2 12不符合题意 所以原方程的解是x 10 答 每轮传染中平均一个人传染了10个人 传播问题 例题 人教版九年级上册数学 一元二次方程 封面目录 解应用题 之 精选例题 2 某电脑公司2000年的各项经营收入中 经营电脑配件的收入为600万元 占全年 经营总收入的40 该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元 且计划从2000年 到2002年 每年经营总收入的年增长率相同 问2001年预计经营总收入为多少万元 解 设每年经营总收入的年增长率为x 列方程 600 40 1 x 2 2
