《数学新学案同步实用课件选修1-1人教B全国通用：第三章 导数及其应用3.3.2 第2课时 .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新学案同步实用课件选修1-1人教B全国通用：第三章 导数及其应用3.3.2 第2课时 .pptx（41页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第2课时 利用导数研究函数的最值 第三章 3 3 2 利用导数研究函数的极值 学习目标 1 理解函数最值的概念 了解其与函数极值的区别与联系 2 会求某闭区间上函数的最值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点 函数的最值 如图为y f x x a b 的图象 思考1 观察 a b 上函数y f x 的图象 试 找出它的极大值 极小值 答案 极大值为f x1 f x3 极小值为f x2 f x4 思考2 结合图象判断 函数y f x 在区间 a b 上是否存在最大值 最 小值 若存在 分别为多少 答案 存在 f x min f a f x max f x3 梳理 1 函数f
2、x 在闭区间 a b 上的最值 函数f x 在闭区间 a b 上的图象是一条连续不断的曲线 则该函数在 a b 上一定能够取得最大值与最小值 若函数在 a b 上是可导的 函 数的最值必在 处或 处取得 2 求可导函数y f x 在 a b 上的最值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 的函数值f a f b 比较 其中最大的 一个是 最小的一个是 区间端点极值点 极值 端点处 最大值最小值 3 函数在开区间 a b 上的最值 在开区间 a b 内连续的函数不一定有最大值与最小值 若函数f x 在开区间I上只有一个极值 且是极大 小 值 则这个极大 小 值就
3、是函数f x 在区间I上的 4 极值与最值的意义 是在区间 a b 上的所有函数值中相比较最大 小 的值 是在区间 a b 上的某一个x0附近相比较最大 小 的函数值 最大 小 值 最值 极值 思考辨析 判断正误 1 函数在给定区间上的极大值就是最大值 2 函数在闭区间上一定有最值 在开区间上不一定存在最值 3 函数在闭区间上的最值不一定是极值 但在开区间上的最值一定是 极值 题型探究 命题角度1 不含参数的函数最值问题 类型一 求函数的最值 解答 例1 求下列函数的最值 1 f x 2x3 12x x 2 3 当x 3时 f x 取得最大值18 解 f x 2x3 12x 解答 所以当x 0
4、时 f x 有最小值f 0 0 当x 2 时 f x 有最大值f 2 反思与感悟 求可导函数最值的四个步骤 1 求函数的定义域 2 求f x 解方程f x 0 3 列出关于x f x f x 的变化表 4 求极值 端点值 确定最值 解答 跟踪训练1 求函数f x ex 3 x2 x 2 5 的最值 解 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 在区间 2 5 上 f x ex x 3 x 1 0 函数f x 在区间 2 5 上单调递减 当x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 当x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e
5、5 命题角度2 含参数的函数最值问题 解答 例2 已知函数f x ex ax2 bx 1 a b R 设g x 是函数f x 的导函数 求函数g x 在区间 0 1 上的最小值 g x 在 0 1 上单调递增 故g x min g 0 1 b 当g x min g 0 1 2a0 解 f x ex 2ax b 则g x ex 2ax b g x ex 2a x 0 1 g x min g ln 2a eln 2a 2aln 2a b 2a 2aln 2a b 当x x 0 1 变化时 g x g x 的变化情况如下表 x0 0 ln 2a ln 2a ln 2a 1 1 g x 0 g x 极
6、小值 g x min g 1 e 2a b 反思与感悟 对参数进行讨论 其实质是讨论导函数大于0 等于0 小于0三种情况 若导函数恒不等于0 则函数在已知区间上是单调函数 最值在端点处取得 若导函数可能等于0 则求出极值点后求极值 再与端点值比较后确定最值 解答 跟踪训练2 已知a是实数 函数f x x2 x a 1 若f 1 3 求a的值及曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程 解 f x 3x2 2ax 因为f 1 3 2a 3 所以a 0 又当a 0时 f 1 1 f 1 3 所以曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为3x y 2 0 解答 2 求f x 在区间 0 2
7、 上的最大值 解 令f x 0 即3x2 2ax 0 类型二 由函数的最值求参数 例3 已知函数f x ax3 6ax2 b x 1 2 的最大值为3 最小值 为 29 求a b的值 解答 解 由题设知a 0 否则f x b为常函数 与题设矛盾 求导得f x 3ax2 12ax 3ax x 4 令f x 0 得x1 0 x2 4 舍去 当a 0 x变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 0 0 0 2 2 f x 0 f x 7a b b 16a b 由表可知 当x 0时 f x 取得极大值b 也是函数f x 在 1 2 上的最大 值 f 0 b 3 又f 1 7a 3 f 2
8、16a 3 f 1 f 2 16a 3 29 解得a 2 当af 1 f 2 16a 29 3 解得a 2 综上可得 a 2 b 3或a 2 b 29 反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值 范围 是求函数 最值的逆向思维 一般先求导数 利用导数研究函数的单调性及极值 点 探索最值点 根据已知最值列方程 不等式 解决问题 其中注意分 类讨论思想的应用 跟踪训练3 已知函数f x 2x3 6x2 a在 2 2 上有最小值 37 求a的值及f x 在 2 2 上的最大值 解答 解 f x 6x2 12x 6x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 则当x 2 0 时 f x 0 f x
9、单调递增 当x 0 2 时 f x 0 f x 单调递减 又f 2 40 a f 2 8 a 所以当x 2时 f x min 40 a 37 得a 3 当x 0时 f x 的最大值为3 例4 设f x ln x g x f x f x 1 求g x 的单调区间和最小值 类型三 与最值有关的恒成立问题 解答 解 由题设知f x 的定义域为 0 令g x 0 得x 1 当x 0 1 时 g x 0 故 1 是g x 的单调递增区间 因此x 1是g x 在 0 上的唯一极值点 且为极小值点 从而是最 小值点 所以最小值为g 1 1 解答 即ln a0成立 由 1 知 g x 的最小值为1 所以ln
10、a 1 解得0 a e 即a的取值范围为 0 e 反思与感悟 分离参数求解不等式恒成立问题的步骤 跟踪训练4 已知函数f x x 1 ln x x 1 若xf x x2 ax 1恒成立 求a的取值范围 解答 所以xf x xln x 1 所以xf x x2 ax 1 x 0 等价于ln x x a 当0 x 1时 g x 0 当x 1时 g x 0 所以x 1是g x 的极大值点也为最大值点 所以g x g 1 1 所以a g x max 1 达标检测 答案 12345 1 函数f x x3 3x x 1 A 有最大值 但无最小值 B 有最大值 也有最小值 C 无最大值 但有最小值 D 既无最
11、大值 也无最小值 解析 解析 f x 3x2 3 3 x 1 x 1 当x 1 1 时 f x 0 又 函数在 0 1 上有最小值 答案 4 已知函数f x ax3 c f 1 6 且函数f x 在 1 2 上的最大值为20 则c 12345 解析 解析 f x 3ax2 f 1 3a 6 a 2 当x 1 2 时 f x 6x2 0 即f x 在 1 2 上是增函数 f x 在 1 2 上的最大值为f 2 2 23 c 20 c 4 答案 4 12345 解析答案 e 解析 由f x 2 得a 2x2 2x2ln x 令g x 2x2 2x2ln x 则g x 2x 1 2ln x 由g x 0 得x 或x 0 舍去 当0 x0 g x 单调递增 12345 当x 时 g x 0 g x 单调递减 当x 时 g x 取得最大值为g e a e 即实数a的取值范围是 e 1 求函数在闭区间上的最值 只需比较极值和端点处的函数值即可 若 函数在一个开区间内只有一个极值 则这个极值就是最值 2 已知最值求参数时 可先确定参数的值 用参数表示最值时 应分类 讨论 3 恒成立 问题可转化为函数最值问题 规律与方法
