《数学新同步套餐苏教江苏专用版选修4-4学案：4.4.4 平摆线与圆的渐开线 Word版含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学新同步套餐苏教江苏专用版选修4-4学案：4.4.4 平摆线与圆的渐开线 Word版含答案.doc（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、4.4.4平摆线与圆的渐开线1了解平摆线、圆的渐开线的生成过程，能导出它们的参数方程2在欣赏曲线美的同时，体会参数方程在曲线研究中的地位3体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性基础初探1平摆线(1)如图447所示，假设A为圆心，圆周上的定点为P，开始时位于O处，圆(半径为r)在直线上滚动时，点P绕圆心做圆周运动，转过(弧度)角后，圆与直线相切于B，线段OB的长等于的长，即OBr.这就是圆周上的定点P在圆A沿直线滚动过程中满足的几何条件我们把点P的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔朧碍鳝绢懣硯涛镕頃赎巯驂雞虯从躜鞯烧。图447(2)以定直线为x轴，点O为原点建立直
2、角坐标系，则定点P(x，y)的参数方程为(为参数)聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測樅锯鳗鲮詣鋃陉蛮苎覺藍驳驂签拋敘睑绑。2圆的渐开线有一条钢丝紧箍在一个半径为r的圆盘上，在钢丝的外端系上一支铅笔，逐渐撒开钢丝，并使撒开的部分成为圆盘的切线，我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒東戇鳖納们怿碩洒強缦骟飴顢歡窃緞駔蚂。思考探究1用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么？【提示】用参数法求曲线的轨迹方程，其步骤主要有三步：选参、用参、消参其中关键是选参，若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置)，则可以用曲线的参数方程作为答案酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧
3、荭钯詢鳕驄粪讳鱸况閫硯浈颡閿审詔頃緯贾。2圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么？【提示】根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数是指绳子外端运动时，半径OB相对于Ox转过的角度，如图，其中的AOB即是角.显然点P由参数惟一确定在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔肤亿鳔简闷鼋缔鋃耧泞蹤頓鍥義锥柽鳗铟。质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍杂篓鳐驱數硯侖葒屜懣勻雏鉚預齒贡缢颔。解惑：_厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩
4、龔长鳏檷譴鋃蠻櫓鑷圣绋閼遞钆悵囅为鹬。疑问2：_茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐鈞摟鳎饗则怿唤倀缀倉長闱踐識着純榮詠。解惑：_鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘聾諦鳍皑绲讳谧铖處騮戔鏡謾维覦門剛慘。疑问3：_籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞曉养鳌顿顾鼋徹脸鋪闳讧锷詔濾铩择觎測。解惑：_預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥龅绌鳆現檳硯遙枨纾釕鴨鋃蠟总鴯询喽箋。摆线已知一个圆的摆线过一定点(1,0)，请写出该摆线的参数方程【自主解答】根据圆的摆线的参数方程的表达式(为参数)可知，只需求出其中的r，也就是说，摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定，因此只需把点(1,0)代入参数方程求出r值再代入参数方程的表达式渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨钞陉鳅
5、陸蹕銻桢龕嚌谮爺铰苧芻鞏東誶葦。令r(1cos )0可得cos 1，所以2k(kZ)代入可得xr(2ksin 2k)1.所以r.又根据实际情况可知r是圆的半径，故r0.所以，应有k0且kZ，即kN.所以，所求摆线的参数方程是(其中为参数，kN)铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵罴楓鳄烛员怿镀鈍缽蘚邹鈹繽駭玺礙層談。再练一题1已知一个圆的平摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程【解】令y0，可得r(1cos )0，由于r0，即得cos 1，所以2k(kZ)代入xr(sin )，得xr(2ksin 2k)又因为x2，所以r(2ksin 2k)2，即得r(kN)易知，当k1时，r取最
6、大值为.代入即可得圆的平摆线的参数方程为(为参数).擁締凤袜备訊顎轮烂蔷報赢无貽鳃闳职讳犢繒笃绨噜钯組铷蟻鋨赞釓。圆的渐开线已知圆的渐开线的参数方程(为参数)贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷鯛汉鼉匮鲻潰馒鼋餳攪單瓔纈釷祕譖钭弯惬閻。求出该渐开线的基圆的方程，当参数取时，求对应曲线上点的坐标【思路探究】由圆的渐开线的参数方程形式可得r3，把代入即得对应的坐标坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚跻馱釣缋鲸鎦潿硯级鹉鄴椟项邬瑣脐鯪裣鄧鯛。【自主解答】，半径为3.蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘籜葦繯颓鲷洁遲銻鹂迳睁張晕辯滾癰學鸨朮刭。此渐开线的基圆方程为x2y29.把代入参数方程得買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄届嬌擻歿鲶锖够怿輿绸養吕諄载殘撄炜豬铥
7、嵝。即綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚糴飙钪麦蹣鲵殘荩讳创户軾鼹麗躑時嘮犖鈞泞椁。曲线上点的坐标为(，3)圆的渐开线参数方程其中为参数驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦諑琼针咙鲲鏵鲠黾诂鰒猫餑矫赖懾鷗邻嫱鏹癣。再练一题2已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑献鵬缩职鲱样犧硯嬸軼產锺銪貸崳门騭荧愛缪。【导学号：98990038】【解】根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(为参数)，分别把和代入，锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔嗚訝摈馍鲰钵鈳銻趨線賜辭尋谳殼車墾骝颁许。可得A、B两点的坐标分别为A(，)，B(，1)構氽頑黉碩饨荠龈话骛門戲鷯
8、瀏鲮晝崃怿挟懺潆说荚諼嘰虽涤漬确轾。那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为AB輒峄陽檉簖疖網儂號泶蛴镧釃邊鲫釓袜讳铈骧鹳蔦馳诸寫簡腦轅騁镀。.尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅瀝纰縭垦鲩换鹊黾淺赖謬纩斃誅兩欤辈啬紳骀。即A、B两点之间的距离为.识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒侬减攙苏鲨运著硯闋签泼熾赇讽鸩憲餘羁鸲傘。1若某圆的渐开线方程是(为参数)，则此圆的方程是_，对应0的点的坐标是_，对应的点是_凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴铍賄鹗骥鲧戲鋃銻瞩峦鳜晋净觸骝乌噠飑罗奐。【解析】圆的方程为x2y21，0的点的坐标是(1,0)，对应的点的坐标是(，1)恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦聰櫻郐燈鲦軫惊怼骥饌誚層糾袄颧颅氢檣亿撐。【答案
9、】x2y21(1,0)(，1)2摆线(02)与直线y1交点的直角坐标为_鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫摇饬缗釷鲤怃诖讳緘貞楼剂镂蝕阔釔縮賭鶯燙。【导学号：98990039】【解析】当y1时，有2(1cos )1，cos ，又02，或，硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹鸶胶据实鲣赢虧黾买硤鬓鸭怄萧锹诈趸办勞繞。当时，x；当时，x.阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖輛埙鵜蔹鲢幟簞硨虑嬰訖領袞薈铍綿頦统议蠱。【答案】(，1)，(，1)氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩纷釓鄧鳌鲡貼閂銻響颟晋铴鲵舻邝滥臥阗块賃。3如图448，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH叫做“正方形的渐开线”，其中弧AE、EF、FG、GH的圆心依次按B、C、D、A循环，它们
10、依次相连接，则曲线AEFGH长是_釷鹆資贏車贖孙滅獅赘慶獷緞瑋鲟将摇怼諳调馍躓潆脅踌懟档擻諞銖。图448【解析】2 ，相加得5.【答案】54已知一个圆的参数方程为(为参数)那么圆的平摆线方程中与参数对应的点A与点B之间的距离为_怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉馴鸨撟鉍鲞谣谧讳开疠蟯许轡缴谰刘緄諫巒題。【解析】根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的平摆线的参数方程为(为参数)，谚辞調担鈧谄动禪泻類谨觋鸾帧鲜奧淨黾违坛拦聰囈編诖骈贰伤踪鸛。把代入参数方程中可得嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩癱恳迹见鲛請綃硨標霽颌穑缂绷蝾鑄陝筚扫咛。即A(3(1)，3)，AB.熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库圆鍰缄鹗鲚圆韓銻鋸詘熒渙陣絎茔谯凍镀鑾惬。【答案】我还有这些不足：(1)_鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞阕簣择睜鲔诌梦怼烨愛总挛摜纷缪腦旧慘梔浏。(2)_纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛覲僨鴛鋅鲒嗚赠讲颤員阚夠诞糶绋痉紙詎铼筚。我的课下提升方案：(1)_颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷涨负這恻鲑觶嘰黾粵闺勝债黌竞稳撐谕鷯浍苌。(2)_濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻減栖綜诉鲐卺網硨鴦觌崃鲞療禎瓯唢問瘗閎谌。
