第八章复习课

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1、一、一、 主要内容主要内容 二、二、 典型例题典型例题 习题课习题课随机事件与概率随机事件与概率 第八八章 1.1.随机试验随机试验 定义定义1 对某种自然现象作一次观察或进行一次科对某种自然现象作一次观察或进行一次科学试验统称为学试验统称为试验试验 . 如果这个试验如果这个试验“在相同的条件在相同的条件”下可以重复进行下可以重复进行, , 而且每次试验结果事前不能确定而且每次试验结果事前不能确定, 但却呈现某种规律性但却呈现某种规律性, ,则称此试验称为则称此试验称为随机试验随机试验 . 一、一、 主要内容主要内容 2. 基本事件与样本空间基本事件与样本空间 定义定义2 试验试验 E 中每一

2、个可能结果称为中每一个可能结果称为随机事件随机事件. 而把不能再分的事件称为而把不能再分的事件称为基本事件基本事件. . 定义定义3 所有基本事件组成的集合称为试验所有基本事件组成的集合称为试验E 的的样本样本 空间空间, 记为记为. 定义定义4 在一定条件组下必然会发生的事件称为在一定条件组下必然会发生的事件称为必然必然 事件事件. 必然事件仍用必然事件仍用 表示表示 . 定义定义5 在一定条件组下必然不发生的事件称为在一定条件组下必然不发生的事件称为不可不可 能事件能事件 . 不可能事件用不可能事件用 表示表示 .3.3.事件间的关系与运算事件间的关系与运算 定义定义6 如果事件如果事件

3、A 发生必然导致事件发生必然导致事件 B 发生发生 , 则称则称 事件事件 B 包含包含事件事件 A , 记为记为若事件若事件 A 包含包含 B , 同时事件同时事件 B 也包含事件也包含事件 A , 即即 且且 则称则称 事件事件 A 与事件与事件 B 相等相等 , 记为记为 A = B . 定义定义7 设设A、B 为两个事件为两个事件, 事件事件 A, B 至少有一至少有一 个发生个发生 称为称为 A与与 B的的和事件和事件, 记为记为或或 定义定义8 设设 A、B 为两个事件为两个事件, 事件事件 A, B 两事件同两事件同 时发生时发生 称为称为 A与与 B的的积事件积事件, 记为记为

4、或或 定义定义9 设设A, B为两个事件为两个事件, 事件事件 A发生而发生而B不发生不发生 称为称为 A与与 B的的差事件差事件, 记为记为定义定义10 若事件若事件A 和和B 不能同时发生不能同时发生, 则称则称A与与B互不互不 相容相容或或互斥互斥 . 若若 A 与与 B 互不相容互不相容, 则有则有 定义定义11 设设A 是一个事件是一个事件, 令令 对立事件对立事件. 称称 是是 A 的的4. 事件间的运算规律事件间的运算规律 (1) 交换律交换律 (2) 结合律结合律 (3) 分配律分配律 (4) 对偶公式对偶公式 定义定义1 如果随机事件如果随机事件A在在n次试验中发生了次试验中

5、发生了nA次次, 称称 5. 频频 率率为事件为事件 A 发生的发生的频率频率 . 频率具有下述性质频率具有下述性质 : (1) 非负性非负性 : fn(A) 0 ; (2) 规范性规范性 : 若若是必然事件是必然事件, 则则 fn() = 1 ; (3) 有限可加性有限可加性 : 若事件若事件A1, A2 , , Ak互不相互不相容容, 则则: 6.6.概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义2 (概率的公理化定义概率的公理化定义) 设设 E 是随机试验是随机试验 , 是是 它的样本空间它的样本空间, 对于试验对于试验 E 的每一个事件的每一个事件 A 赋予一赋予一 个实数个实数, 记为记

6、为 P(A) . 若若 P(A) 满足下列三个条件满足下列三个条件 : (1) 非负性非负性 : 对每一个事件对每一个事件A , 有有 0P(A) 1 ; P() =1 ; (2) 规范性规范性 : (3) 有限可加性有限可加性 : A1, A2 , 是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件即即 则有则有 则称则称 P(A) 为事件为事件 A 的的概率概率 . 概率的性质概率的性质 : 性质性质 1 这个性质说明这个性质说明: 不可能事件的概率为不可能事件的概率为0 , 但逆命题但逆命题不一定成立不一定成立 . 性质性质 2 若若 A1, A2 An 是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件则

7、有则有 特别地特别地, 若事件若事件 A 与事件与事件 B 互不相容互不相容, 则有则有性质性质 3 (1) 对任意事件对任意事件 A , 有有 (2) 若若则则 且且 性质性质 4 设设 A, B 是两个事件是两个事件,则则(概率加法公式概率加法公式) 推广到三个事件和事件的概率推广到三个事件和事件的概率 : 定义定义3 对于某一随机试验对于某一随机试验 , 如果具有下述特征如果具有下述特征 : (1) 样本空间中的元素样本空间中的元素 (基本事件基本事件) 只有有限个只有有限个. 不妨设为不妨设为 n 个个, 记为记为 1 , 2 , , n . (2) 每个基本事件出现的可能性是相等的每

8、个基本事件出现的可能性是相等的 , 即即 . 则称其为则称其为古典概率古典概率 . 6.6.古典概率古典概率 若事件若事件A 包含包含 m 个基本事件个基本事件 即即 所以所以 : 7.7.条件概率条件概率定义定义1 设设A, B为随机试验为随机试验E 的两个事件的两个事件, 且且 P(A)0,为事件为事件 A 已发生的条件下已发生的条件下, 则称则称事件事件 B 发生的发生的条件概率条件概率. 同理在事件同理在事件 B 发生的条件下发生的条件下, 事件事件 A 发生的条件发生的条件概率为概率为 :注注: 条件概率与普通概率有相类似的性质条件概率与普通概率有相类似的性质, 如如: (2) 若若

9、 BC, 则则 P( (BC) | A ) = P( B|A ) + P( C|A ) . 8.8.乘法公式乘法公式由条件概率的公式由条件概率的公式 :以上两式称为事件概率的以上两式称为事件概率的乘法公式乘法公式.乘法公式推广乘法公式推广:9.9.独立性独立性设设 A、B 是两个事件是两个事件, 若若 P(A)0 , (1) 若若 A 的发生对的发生对 B 发生的概率有影响发生的概率有影响, 则则 (2) 若若 A 的发生对的发生对 B 发生的概率没有影响发生的概率没有影响, 则则 事件事件 A, B 之间互不影响之间互不影响, 称称 A 与与 B 相互独立相互独立. 定义定义3 设设 A ,

10、 B 是两事件是两事件. 如果满足：如果满足：则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相互独立相互独立. 定理定理1 设试验设试验 的样本空间为的样本空间为, 设事件设事件A1, A2 , , An 为为的一个划分的一个划分, 且且 P(Ai) 0 (i = 1, 2, , n). 则对任意事件则对任意事件B, 有有: 全概率公式全概率公式 10.10.全概率公式全概率公式上式称为上式称为贝叶斯公式贝叶斯公式 .定理定理2 设设 A1 , A2 , , An 为样本空间为样本空间的一个划分的一个划分, P(Ai) 0 (i=1,2, , n) , 则对于任一事件则对于任一事件B (P(B)0)

11、, 有有:11.11.贝叶斯公式贝叶斯公式例例1某人下班后开车回家需途径某人下班后开车回家需途径3个路口，以个路口，以 表表 示第示第i个路口遇上红灯（个路口遇上红灯（1,2,3）试用）试用 表示下列事件：表示下列事件：（1）遇到）遇到3次红灯；（次红灯；（2）至少遇到一次红灯；）至少遇到一次红灯；（3）至多遇到）至多遇到2次红灯；（次红灯；（4）一路绿灯。）一路绿灯。例例2 有有6个同学排成一队，求某个同学排成一队，求某2人排在一起的概率。人排在一起的概率。二、二、 典型例题典型例题 例例3 一个口袋中装有大小相同的一个口袋中装有大小相同的5个白球，个白球，4个黑球，个黑球， 从中任取从中任

12、取2球。（球。（1）事件）事件 A为为取到的都是黑取到的都是黑 球球，求，求P(A)；(2)事件事件B为为至少取到一个白球至少取到一个白球， 求求P(B)。例例4 已知袋中有已知袋中有5个大小相同的球，其中个大小相同的球，其中3个红球个红球2个个 黑球，现从袋中不放回地顺序取出两球，已知黑球，现从袋中不放回地顺序取出两球，已知 第一次取得红球，求第二次取得黑球的概率。第一次取得红球，求第二次取得黑球的概率。例例5 甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，其产量分甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，其产量分别占总产量的别占总产量的25%、35%、40%。从中任取一件产品发。从中任取一件产品发现不是丙厂生

13、产的，求取到的产品是甲厂生产的概率。现不是丙厂生产的，求取到的产品是甲厂生产的概率。例例6 一个筐子中有一个筐子中有8只乒乓球，其中只乒乓球，其中4只新球，只新球，4只旧球。只旧球。 新球用过后就视为旧球，每次使用时随意取一只，新球用过后就视为旧球，每次使用时随意取一只， 用后放回筐中，求第二次所用球才是旧球的概率。用后放回筐中，求第二次所用球才是旧球的概率。 例例7 两人独立地破译一组密码，他们能译出的概率两人独立地破译一组密码，他们能译出的概率 分别为分别为0.3、0.4，求此密码能译出的概率。，求此密码能译出的概率。 例例8 某工厂有三条流水线生产同一产品，已知这三某工厂有三条流水线生产

14、同一产品，已知这三 条流水线的生产能力分别占总量的条流水线的生产能力分别占总量的40%，35%， 25%，每条流水线的次品率分别为，每条流水线的次品率分别为1%，2%， 2%，那么该工厂的这种产品的合格率是多少？，那么该工厂的这种产品的合格率是多少？ 例例9 无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号为无线电通讯中，由于随机干扰，当发出信号为 “”时，收到信号为时，收到信号为“”、“不清不清”、“”的概率的概率 分别为分别为0.7,0.2和和0.1；当发出信号为；当发出信号为“”时，时， 收到信号为收到信号为“”、“不清不清”、“”的概率分别的概率分别 为为0.8,0.1和和0.1。已知整个通讯过程中。已知整个通讯过程中“”、“” 出现的概率分别为出现的概率分别为0.6和和0.4，求收到信号为，求收到信号为“”时时 发出信号也是发出信号也是“”的概率。的概率。