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1、第 1 页 共 12 页 高考数学一模试卷高考数学一模试卷 题号 一二三总分 得分 一 选择题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 1 m 1 2 是 lnm 1 成立的 A 充分非必要条件B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分也非必要条件 2 设集合 A x x a 1 B 1 3 b 若 A B 则对应的实数对 a b 有 A 1 对B 2 对C 3 对D 4 对 3 已知两个不同平面 和三条不重合的直线 a b c 则下列命题中正确的是 A 若 a b 则 a b B 若 a b 在平面 内 且 c a c b 则 c C 若 a b c 是两两互相异面的直线 则只存在有限条直线
2、与 a b c 都相交 D 若 分别经过两异面直线 a b 且 c 则 c 必与 a 或 b 相交 4 若直线 l 1 经过第一象限内的点 P 则 ab 的最大值为 A B 4 2C 5 2D 6 3 二 填空题 本大题共 12 小题 共 54 0 分 5 若抛物线 y2 mx 的焦点坐标为 0 则实数 m 的值为 6 7 不等式的解集是 8 已知 i 为虚数单位 若复数 z mi 是实数 则实数 m 的值为 9 设函数 f x loga x 4 a 0 且 a 1 若其反函数的零点为 2 则 a 10 1 1 x 6展开式中含 x2项的系数为 结果用数值表示 11 各项都不为零的等差数列 a
3、n n N 满足 a2 2a82 3a10 0 数列 bn 是等比数列 且 a8 b8 则 b4b9b11 12 设椭圆 y2 1 a 1 直线 1 过 的左顶点 A 交 y 轴于点 P 交 于点 Q 若 AOP 是等腰三角形 O 为坐标原点 且 2 则 的长轴长等于 13 记 a b c d e f 为 1 2 3 4 5 6 的任意一个排列 则 a b c d e f 为偶数的排列的个数共有 14 已知函数 f x x2 8x 15 ax2 bx c a b c R 是偶函数 若方程 ax2 bx c 1 在区间 1 2 上有解 则实数 a 的取值范围是 15 设 P 是边长为 2 的正六
4、边形 A1A2A3A4A5A6的边上的任意一点 长度为 4 的线段 MN 是该正六边形外接圆的 第 2 页 共 12 页 一条动弦 则 的取值范围为 16 若 M N 两点分别在函数 y f x 与 y g x 的图象上 且关于直线 x 1 对称 则称 M N 是 y f x 与 y g x 的一对 伴点 M N 与 N M 视为相同的一 对 已知 f x g x x a 1 若 y f x 与 y g x 存在两对 件点 则实数 a 的取值范围为 三 解答题 本大题共 5 小题 共 76 0 分 17 如图所示的三棱锥 P ABC 的三条棱 PA AB AC 两两互 相垂直 AB AC 2P
5、A 2 点 D 在棱 AC 上 且 0 1 当 时 求异面直线 PD 与 BC 所成角的大小 2 当三棱锥 D PBC 的体积为 时 求 的值 18 设函数 f x 1 当 a 4 时 解不等式 f x 5 2 若函数 f x 在区间 2 上是增函数 求实数 a 的取值范围 19 某居民小区为缓解业主停车难的问题 拟对小区内一块 扇形空地 AOB 进行改建 如图所示 平行四边形 OMPN 区域为停车场 其余部分建成绿地 点 P 在围墙 AB 弧上 点 M 和点 N 分别在道路 OA 和道路 OB 上 且 OA 60 米 AOB 60 设 POB 1 求停车场面积 S 关于 的函数关系式 并指出
6、 的 取值范围 2 当 为何值时 停车场面积 S 最大 并求出最大值 精确到 0 1 平方米 第 3 页 共 12 页 20 已知双曲线 1 a 0 b 0 的焦距为 4 直线 1 x my 4 0 m R 与 交于两个不同的点 D E 且 m 0 时直线 l 与 的两条渐近线所围成的三角形恰为 等边三角形 1 求双曲线 的方程 2 若坐标原点 O 在以线段 DE 为直径的圆的内部 求实数 m 的取值范围 3 设 A B 分别是 的左 右两顶点 线段 BD 的垂直平分线交直线 BD 于点 P 交直线 AD 于点 Q 求证 线 段 PQ 在 x 轴上的射影长为定值 21 数列 an 与 bn 满
7、足 a1 a bn an 1 an Sn是数列 an 的前 n 项和 n N 1 设数列 bn 是首项和公比都为 的等比数列 且数列 an 也是等比数列 求 a 的值 2 设 bn 1 bn 2n 1 若 a 3 且 an a4对 n N 恒成立 求 a2的取值范围 3 设 a 4 bn 2 Cn n N 2 若存在整数 k 1 且 k l 1 使 得 Ck Cl成立 求 的所有可能值 第 4 页 共 12 页 答案和解析答案和解析 1 答案 A 解析 解 lnm 1 0 m e 1 2 0 e m 1 2 是 lnm 1 成立的充分非必要条件 故选 A 先求出命题所对应的集合 讨论集合之间的
8、包含关系 得出结论 本题考查解不等式 简易逻辑 属于基础题 2 答案 D 解析 解 因为集合 A x x a 1 所以 A a 1 a 1 因为 B 1 3 b A B 所以 a 1 1 或 a 1 3 或 a 1 b 当 a 1 1 时 即 a 2 A 1 3 此时可知 B 1 3 3 成立 即 a 2 b 3 当 a 1 3 时 即 a 2 A 3 1 此时可知 B 1 3 1 成立 即 a 2 b 1 当 a 1 b 时 则 a 1 1 或 3 当 a 1 1 时 即 a 0 A 1 1 此时可知 B 1 3 1 成立 即 a 0 b 1 当 a 1 3 时 即 a 4 A 5 3 此时
9、可知 B 1 3 5 成立 即 a 4 b 5 综上所述 a 2 b 3 或 a 2 b 1 或 a 0 b 1 或 a 4 b 5 共 4 对 故选 D 先解出 A 再讨论包含关系 注意集合元素互异性 解出数对 本题考查集合关系 综合集合元素互异性 属于基础题 3 答案 D 解析 解 对于选项 A 若 a b 则直线 a 也可能与直线 b 异面 故错误 对于选项 B 只有直线 a 和 b 为相交直线时 若 c a c b 则 c 故错误 对于选项 C 若 a b c 是两两互相异面的直线 则存在无限条 虚线 直线与 a b c 都相交 故错误 如图所示 对于选项 D 若 分别经过两异面直线
10、a b 且 c 则 c 必与 a 或 b 相交 正 确 故选 D 直接利用定义和判定定理的应用求出结果 本题考查的知识要点 立体几何中的定义和判定的定理的应用 主要考查学生对定义的 理解能力 属于基础题型 第 5 页 共 12 页 4 答案 B 解析 解 直线 l 1 经过第一象限内的点 P 则 a b 0 1 ab ab 令 t 0 g t t 0 g t 可得 t 时 g t 取得极大值即最大值 g 4 2 故选 B 直线 l 1 经过第一象限内的点 P 可得 a b 0 1 ab ab 令 t 0 g t t 0 利用导 数已经函数的单调性极值最值即可得出 本题考查了直线方程 换元法 利
11、用导数研究函数的单调性极值与最值式 考查了推理 能力与计算能力 属于中档题 5 答案 2 解析 解 由抛物线方程得 焦点坐标 0 m 2 故答案为 2 直接由抛物线方程写出焦点坐标 由题意得求出 m 的值 考查抛物线方程写焦点坐标 属于基础题 6 答案 3 解析 解 3 故答案为 3 利用数列的极限的运算法则化简求解即可 本题考查数列的极限的运算法则是应用 是基本知识的考查 基础题 7 答案 x 0 x 1 解析 解 1 1 0 0 0 x 1 不等式的解集为 x 0 x 1 故答案为 x 0 x 1 第 6 页 共 12 页 将不等式 1 移项后通分 即可求得不等式的解集 本题考查不等式的解
12、法 移项后通分是关键 属于基础题 8 答案 解析 解 复数 z mi 是实数 m 即 m 故答案为 利用复数代数形式的乘除运算化简 再由虚部为 0 求解 m 值 本题考查复数代数形式的乘除运算 考查复数的基本概念 是基础题 9 答案 2 解析 解 函数 f x loga x 4 a 0 且 a 1 若其反函数的零点为 2 即函数过 0 2 代入 2 loga 0 4 a2 4 a 2 a 0 故答案为 2 根据函数过 0 2 代入求出即可 考查函数与反函数的关系 对数的运算 基础题 10 答案 9 解析 解 二项式 1 x 6的展开式中 通项公式为 Tr 1 1 r xr 分别取 r 2 5
13、可得 1 1 x 6展开式中含 x2项的系数为 故答案为 9 求出 1 x 6展开式中的常数项和含 x2项 利用多项式乘多项式得答案 本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题 是基础题 11 答案 8 解析 解 各项均不为 0 的等差数列 an 满足 a2 2a82 3a10 0 3 a1 9d 0 化为 a1 7d 2 a8 数列 bn 是等比数列 且 b8 a8 2 b4b9b11 故答案为 8 由已知等式结合等差数列的通项公式求得 a8 再由等比数列的通项公式结合 a8 b8求解 b4b9b11的值 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其性质 考查了推理能力与计算能力 属 于中档题
14、第 7 页 共 12 页 12 答案 2 解析 解 如图所示 设 Q x0 y0 由题意可得 A a 0 P 0 a 2 x0 y0 a 2 a x0 y0 x0 y0 代入椭圆 方程可得 1 解得 a 的长轴长等 2 故答案为 2 如图所示 设 Q x0 y0 由题意可得 A a 0 P 0 a 根据 2 可得 x0 y0 代入椭圆 方程解得 a 即可得出 本题考查了椭圆的标准方程及其性质 向量坐标运算性质 考查了推理能力与计算能力 属于中档题 13 答案 432 解析 解 根据题意 a b c d e f 为 1 2 3 4 5 6 的任意一个排列 则共有 A66 720 个排列 若 a
15、b c d e f 为偶数的对立事件为 a b c d e f 为奇数 a b c d e f 全部为奇数 有 6 3 4 2 2 1 288 故则 a b c d e f 为偶数的排列的个数共有 720 288 432 故答案为 432 若 a b c d e f 为偶数的对立事件为 a b c d e f 为奇数 即 a b c d e f 全部为奇数 根据计数原理计算其个数 由 a b c d e f 为 1 2 3 4 5 6 的任意一个排列 共有种 进而可得所求 本题考查排列 组合的应用 涉及分步计数原理的应用 考查分析解决问题的能力 属 于中档题 14 答案 解析 解 f x x2
16、 8x 15 ax2 bx c 是偶函数 图象关于 y 轴对称 令 x2 8x 15 0 可得 x 3 或 x 5 根据偶函数图象的对称性可知 3 5 是 ax2 bx c 0 的两个根 由 ax2 bx c 1 可得 ax2 8ax 15a 1 x 1 2 时 x2 8x 15 3 8 a 第 8 页 共 12 页 故答案为 由 f x 是偶函数 图象关于 y 轴对称 可知 3 5 是 ax2 bx c 0 的两个根 根据方 程的根与系数关系可求得 a b c 的关系 然后结合二次函数的性质可求 a 的范围 本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解 根据函数奇偶性的性质求出函数的 解析式是解决本题的关键 15 答案 6 4 8 8 解析 解 设正六边形外接圆的圆心为 O 正六边形 A1A2A3A4A5A6的边长为 所 以半径为 2 设 MN 的中点为 Q 则 因为与为相反向量 所以 0 4 所以 因为 OQ 2 所以 Q 在以 O 为圆心 以 2 为半径的圆上 PQ max 2 2 PQ min 2 的最大值为 8 8 最小值为 6 4 所以 的取值范围为 6 4 8 8 关键把
