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1、. . 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷第卷(共64分)一、填空题(每题8分,满分64分,将答案填在答题纸上)1.设三个复数,在复平面上对应的三点共线,且,则 2.设是正整数,且满足,则 3.函数的最小正周期= 4.设点,分别在函数和的图象上,则的最小值= 5.从中随机抽取三个各不相同的数字,其样本方差的概率= 6.在边长为的正方体内部有一小球,该小球与正方体的对角线段相切,则小球半径的最大值= 7.设是的垂心,且,则 8.把按照顺时针螺旋方式排成行列的表格,第一行是.例如:.设在的第行第列,则 第卷(共86分)二、解答题 (本大题共4小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2、骤.) 9. 如图所示,设是矩形,点,分别是线段,的中点,点在线段上,点,关于线段的垂直平分线对称.求证:.10. 设是坐标原点,双曲线上动点处的切线交的两条渐近线于,两点.(1)求证:的面积是定值;(2)求的外心的轨迹方程.11. (1)求证:对于任意实数,都有.(2)是否存在实数,使得对于任意实数,下式恒成立?试证明你的结论.12. 在正边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.试卷答案一、填空题1.或2.3. 4.5.6.7.8.二、解答题9.解:由,分别是,的中点,得.设是关于的对称点,则,故四边形是等腰梯形.进而,从而.再由,得.因此.10.解:(1)处的切线方程.与渐近线方程联立,得,.从而,是定值.(2)由(1)可设,为非零常数.由,得.从而有,.上述两式相乘,得的轨迹方程为.11.解:(1)由均值不等式,.故.(2)上式恒成立当且仅当且.化简得且.显然,满足要求.12.设是此图形中三边颜色都相同的三角形数目,是此图形中三边颜色不全相同的三角形数目,是以第个顶点为端点的红色线段数目,则有,.当且仅当每个或时,取得最小值.是可以取到的,例如把线段染成红色,其它线段染成蓝色. word可编辑