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1、. . .2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：3011：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1已知集合，则集合中所有元素的和为（ ）A B0 C2 D3【答案】 B 【解答】由，得。又。因此。所以，集合中所有元素的和为0。2已知正三棱锥的三条侧棱、两两互相垂直，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A B C D【答案】 C 【解答】设，则三棱锥外接球的半径。（第2题图）由，得。 ，三棱锥的体积。3已知为实数，若存在实数，使得，且，则的取值范围为（ ）A B C D【答案】 C 【解答】 由，得 ， ，即，解得或。 的取值范围为。4、是两条
2、不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（ ）（1）对、外任意一点，存在过点且与、都相交的直线；（2）若，则；（3）若，且，则；（4）若，则。 A1 B2 C3 D4【答案】 B （第4题图）【解答】（1）不正确。如图，在正方体中，取为直线，为直线。过点的直线如果与直线相交，则在内，此时与直线不相交。（2）、（3）正确。（4）不正确。如图，正方体的面内取两条与平行的直线，如图中的直线与，则有，但与面相交而不平行。5已知函数，若对任意实数均有，则的最小值为（ ）A B C D【答案】 A 【解答】 依题意，的图像关于直线对称。 ，。于是，解得。，时，。 ，即。此时，符
3、合题意。 ，即时，取最小值。6已知，若，且，则的最小值为（ ）A B C D【答案】 D 【解答】 由，得。 。设，则。 ， ，解得，即，。 ，即。 ，即。由，知，。 ，解得。因此，。又当时，代入前面解得，。符合题设要求。 的最小值为。二、填空题（每小题6分，共36分）7已知定义在上的函数（，且）的值域也是，则的值为 。【答案】 【解答】当时，在上为增函数，依题意有，方程组无解。当时，在上为减函数，依题意有，解得。所以，。8如图，在三棱锥中，。设与所成的角为，则的值为 。【答案】 【解答】如图，取中点，连接，。 ， ，。 ，。（第8题图）又由，知是等边三角形。作于，则，且。 是与所称的角。 。
4、（第8题图）9已知，点在线段内，且平分，则点的坐标为 。【答案】 【解答】如图，方程为，设（）。又直线方程为，方程为，平分。 点到直线、距离相等。 。（第9题图）解得，（舍去）或。因此，点坐标为。10设是定义在上以2为周期的偶函数，且在区间上单调递减。若，则不等式组的解集为 。【答案】 【解答】 是偶函数，且在区间上单调递减。 在区间上为增函数。又是以2为周期的周期函数， 在区间上为增函数。又，以及是以2为周期的偶函数。 ，。又， 不等式组的解集为。11已知，定义，则 。【答案】 【解答】 依题意，有，一般地，有。所以，。12已知，且，则的最大值为 。【答案】 【解答】由，知，当且仅当，且，即
5、，时，等号成立。所以，的最大值为。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13已知，且当时，恒成立。（1）求的解析式；（2）已知、是函数图像上不同的两点，且。当、为整数，时，求直线的方程。【解答】（1）依题意，。 ，且。 。 4分此时，可见在区间上的最小值为。 的对称轴为，即，。 。 8分（2）由（1）知，。同理。 ， 。 。 12分又、为整数，且， ，或，或。结合，得，。 、坐标分别为、。 直线的方程为。 16分14过直线：上一点作圆：的两条切线、，、为切点。（1）在上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；（2）若直线过原点，求点
6、的坐标。【解答】（1）假设符合条件的点存在。则由，知。 ， 。 4分另一方面，由圆心到直线的距离，知。即，矛盾。因此，假设不成立。 符合条件的点不存在。 8分（2）设为直线上一点。则。 点、在以为圆心，半径为的圆上，即点、在圆上，即圆上。又点、在圆：上，即圆上。将上述两圆方程联立，消二次项，得。 直线方程为。 12分由直线过原点知，。联立，解得，。 点的坐标为。 16分15如图，为锐角三角形，于，为的垂心，为的中点。点在线段上，且。（1）求证：；（2）求证：。【解答】（1）由条件知， 、四点共圆。 。 4 分 为的中点， ，。延长交于点。由为的垂心知，。（第15题图） 。 。又， 。 8分（2
7、）由（1）知，。又， 。 。 12分又，（第15题图） 。又， 。 。 16分 16已知为定义在上的奇函数，且当时，。（1）若函数恰有两个不相同的零点，求实数的值；（2）记为函数的所有零点之和。当时，求的取值范围。 【解答】 （1）如图，作出函数的草图。（第16题图）由图像可知，当且仅当或时，直线与函数的图像有两个不同的交点。所以，当且仅当或时，函数恰有两个不相同的零点。因此，或。 4分（2）由的图像可知，当时，有6个不同的零点。 8分设这6个零点从左到右依次设为，。则，是方程的解，是方程的解。 。 12分 时， 。 时，的取值范围为。 16分17设集合是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质： 对任意，在中去掉后，剩下的数的算术平均数都是正整数； ，且是中最大的数。求的最大值。（符号表示集合中元素的个数）【解答】依题意，设，且。记，则，其中，2，3，。 对任意，有。 5分 对任意，。又， 任意，。 任意，。于是，。即，。 。 10分另一方面，令，2，3，31，则符合要求。 的最大值为31，即的最大值为31。 14分参考材料
