地下水向完整井非稳定运动

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1、安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 1 MULTIPLE AQUIFERS Distorted scale! 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 1. 承压含水层中的完整井流 2. 有越流补给的完整井流 3. 有弱透水层弹性释水补给和越流补给的完整井流 4. 潜水完整井流 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划

2、系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 4-1 承压含水层中的完整井流 当承压含水层侧向边界离井很远，边界对研究区的水头分布没有明显 影响时，可以把它看作是无外界补给的无限含水层。 1. 定流量抽水时的Theis公式 承压含水层中单井定流量抽水的数学模型是在下列假设条件下建立的： (1) 含水层均质各向同性，等厚，侧向无限延伸，产状水平； (2) 抽水前天然状态下水力坡度为零； (3) 完整井定流量抽水，井径无限小； (4) 含水层中水流服从Darcy定律； (5) 水头下降引起的地下水从贮存量中的释放是瞬时完成的。 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院

3、地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，将 坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为Z轴，如图4-1所示。 图4-1 承压水完整井流 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 此时，单井定流量的承压完整井流，可归纳为如下的数学模型： 式中，s=H0-H。 下边研究如何求降深函数s (r, t)。为此，利用Hankel变换，将方 程式(4-1)两

4、端同乘以rJ0(r)，并在(0,)内对r积分。 s(r，0)=0 s(，t)=0， t0，0 (4-1) （4-2） 0r0 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 设导压系数 ，则有： 方程式右端 方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式 （4-3）与式(4-4)，有： 按Bessel函数的性质，有： 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 因此，有：

5、上述定解问题，经过Hankel变换，消去了变量r，转变为常微分方程 的初值问题，即： 其解为： 再通过Hankel逆变换由 求s，即： （4-5） 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 先计算方括号内的积分，为此设： 将(4-6)式对r求导数，有： 根据（4-6）式，有： （4-6） 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 两边积分得： 令 ，则有： 故： 利

6、用r=0时的F（r）值，由（4-6）可以确定C值： 但由(4-7)式，有： 把上式代入(4-5)式，有： （4-7） （4-8） 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令： 同时更换积分上下限，当=0 时， 当=t时，y = 于 是， 其中， （4-9） （4-10） 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 在地下水动力

7、学中，采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数积分式： 则(4-9)式可改写成： 式中，s抽水影响范围内，任一点任一时刻的水位降深； Q抽水井的流量；T导水系数； t自抽水开始到计算时刻的时间； r计算点到抽水井的距离；*含水层的贮水系数。 (4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式，也就是 著名的Theis公式。 （4-11） 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式： 并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-

8、1中就可查出相应的 W（u）值；反之亦然。 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 2. 流量变化时的计算公式 Theis公式是在假定流量固定不变的情况下导出的。这种

9、情况通常只有 在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井的流量是季节性变化的。如 农用井在灌溉季节抽水量大，非灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情 况，常随需水量而变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式? 首先需要绘出生产井的Q=f（t）关系曲线，即流量过程线。 然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标选择如图4-2 所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标所围成的面积。其中，每一 个阶梯都可视为定流量，应用Theis公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠 加原理叠加起来，即得流量变化时水位降深的计算公式。 当0tt1时，水位降深为： 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境

10、学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 当 时，水位降深为： 图4-2 流量概化呈阶梯状变化图 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降深为： 式中，设t0=0，相应的Q0=0。 (4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后的计算公式。 3 . Theis公式的近似表达式 如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即： （4-12） 安徽理工大学安徽

11、理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 前三项之后的级数是一个交错级数。根据交错级数的性质可知，这个 级数之和不超过u。也就是说，当u很小，井函数W(u)用级数前两项(- 0.577216-lnu)代替时，其舍掉部分不超过2u。因此， 当u 0.01(即 )，井函数用级数前两项代替时，其相对误差 不超过0.25%； 当u0.05时(即 )，相对误差不超过2%； 当u 0.1时（即 ），相对误差不超过5%。 一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u0.01或u 0.05时，井 函数可用级数的

12、前两项代替，即： 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式： (4-13)式称为Jacob公式(1946)。 流量阶梯状变化时，当ui0.01时，即 (4-12)式可近似地表示为： (4-13) (4-14) 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 4 .对Theis公式和与之有关的几个问题的讨论 1) Theis公式

13、反映的降深变化规律 将（4-11）式改写成无量纲降深形式，即 ，并给 出 曲线 图4-3(a)。 曲线表明，同一时刻随径向距离r增大，降深s变小，当r时，s0 ，这一点符合假设条件。同一断面(即r固定)，s随t的增大而增大，当t=0时 ，s=0，符合实际情况。当t时，实际上s不能趋向无穷大。因此，降落 漏斗随时间的延长，逐渐向远处扩展。这种永不稳定的规律是符和实际的 ，恰好反映了抽水时在没有外界补给而完全消耗贮存量时的典型动态。图 4-3反映了上述结论。 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 (4-15) 从（4-11）或（4-13）式还可以看出：同一时刻的径向距离r相同的 地点，降深相同。这说明抽水后形成的等水头线(s=常数)是一些同心圆， 圆心在井轴。当u0.05时,可直接由(4-13)式导出描述它们的方程式为： 安徽理工大学安徽理工大学 地球与环境学院地球与环境学院 水资源与规划系水资源与规划系 Ch4 地下水向完整井的非稳定运动 地地 下下 水水 动动 力力 学学 2) Theis公式反映的水头下降速度的变化规律 将(4-9)式对t求导数