导数综合压轴216道

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1、自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 1 - 导数题整理 江苏镇江韩雨 1.(2017 全国 1 理)已知函数 2 e2 e xx f xaax. （1）讨论 f x的单调性； （2）若 f x有两个零点，求a的取值范围. 2.（2017 全国 1 文）已知函数 2 ee xx f xaa x. （1）讨论 f x的单调性； （2）若0)(xf，求a的取值范围. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 2 - 3.（2017 全国 2 理）已知函数 2 lnf xaxaxxx，且 0f x . （1）求a； （2）证明： fx存在唯一的极大值点 0 x，且 22 0 e2f x . 4.（201

2、7 全国 2 文）设函数 2 1exf xx. （1）讨论 f x的单调性； （2）当0x时，1)( axxf，求a的取值范围. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 3 - 5.（2017 全国 3 理）已知函数 1lnf xxax . （1）若 0fx ，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n， 2 111 1+1+ 222n m 1，求m最小值. 6.（2017 全国 3 文）已知函数 2 ln21f xxaxax （1）讨论 f x的单调性； （2）当0a 时，证明：2 4 3 )( a xf 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 4 - 7.（2016 全国 1 理）已知函

3、数 2 ( )(2)e(1) x f xxa x有两个零点. （1）求a的取值范围； （2）设 1 x， 2 x是( )f x的两个零点，求证： 12 2xx. 8.（2016 全国 2 理） （1）讨论函数 2 ( )e 2 x x f x x 的单调性，并证明当0 x 时，(2)e20; x xx （2） 证明：当 0,1)a 时，函数 2 e =(0) x axa g xx x 有最小值.设 g x的最小值为 ( )h a，求函数( )h a的值域. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 5 - 9.（2016 全国 2 文）已知函数 1 ln1f xxxa x. （1）当4a 时，求曲

4、线 yf x在 1,1f处的切线方程； （2）若当1,x时， 0f x ，求a的取值范围. 10.（2016 全国 3 理）设函数( )cos2(1)(cos +1)f xaxax，其中0a ，记( )f x的 最大值为A. （1）求( )fx； （2）求A； （3）证明Axf2| )( | 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 6 - 11.（2015 全国 1 理）已知函数 3 1 4 fxxax， lng xx . （1）当a为何值时，x轴为曲线 yf x的切线； （2）用min,m n表示m，n中的最小值，设函数 min,h xf xg x0 x ，讨 论 h x零点的个数. 12.（

5、2015 全国 1 文）设函数 2 eln x f xax. （1）讨论 f x的导函数 fx零点的个数； （2）求证：当0a 时， a aaxf 2 ln2)( 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 7 - 13.（2015 全国 2 理）设函数 2 emxf xxmx. （1）证明： fx在,0单调递减，在0,单调递增； （2）若对于任意 12 ,1,1x x ，都有1| )()(| 21 exfxf，求m的取值范围 14.（2014 全国 1 理）设函数 1 e e ln x x b fxax x ，曲线 yfx在点 1,1f处的 切线为e(1)2yx. （1）求, a b； （2）证明

6、：( )1f x . 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 8 - 15.（2014 全国 1 文）设函数 2 1 ln 2 a fxaxxbx 1a ，曲线 yfx在点 1,1f处的切线斜率为0. （1）求b； （2）若存在 0 1x，使得 1 a fx a ，求a的取值范围. 16.（2013 全国 1 理）已知函数 2 f xxaxb， e () x g xcxd，若曲线 yfx 和曲线 yg x都过点(0 2)P ，且在点P处有相同的切线42yx （1）求abcd， ， ，的值 （2）若2x时，)()(xkgxf，求k的取值范围. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 9 - 17.（

7、2013 全国 2 理）已知函数 eln x fxxm. （1）设0 x 是 fx的极值点，求m，并讨论 fx的单调性； （2）当2m时，证明 0f x. 18.（2013 全国 2 文）已知函数 2 ( )e x f xx . （1）求( )f x的极小值和极大值； （2）当曲线( )yf x的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 10 - 19.（2012 全国 1 理）已知 21 2 1 )0() 1 ( )(xxfefxf x （1）求)(xf的解析式及单调区间 （2）若baxxxf 2 2 1 )(，求ba) 1( 的最大值 20.

8、（2011 全国 1 理）已知函数 ln ( ) 1 axb f x xx ，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方 程为230 xy （1）求 a，b 的值； （2）如果当 x0，且1x 时， ln ( ) 1 xk f x xx ，求 k 的取值范围 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 11 - 21.（2010 全国 1 理）设函数 2 1)(axxexf x （1）若0a，求)(xf单调区间； （2）若当0x时，0)(xf，求a的取值范围 22.（2015 山东理）设函数 2 ln1f xxa xx，其中aR. （1）讨论函数 fx极值点的个数，并说明理由； （2）若 0,0

9、 xfx 成立，求a的取值范围. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 12 - 23.已知函数 2 ( )(1) x f xxeax有两个零点 12 ,x x （）当1a 时，求( )f x的最小值； （）求a的取值范围； （）设 12 ,x x是( )f x的两个零点，证明： 12 0 xx. 24. 已知函数( )ln21()f xxaxaR （）讨论函数 2 ( )( )g xxf x的单调性； （）若 1 2 a ，证明： 11 |( )1| 2 nx f x x 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 13 - 25. 已知函数( )lnf xaxx （1）过原点O作函数( )f x

10、图象的切线，求切点的横坐标； （2）对x1，+） ，不等式 2 ( )(2)f xaxx恒成立，求实数a的取值范围 26. 已知函数 ln ( ) x f x x (I)求函数( )f x的极值； (II)当0 xe时 ： 证明()()f exf ex (III)设函数( )f x的图像与直线y m 的两个交点分别为 11 (,()A xf x， 11 (,()B xf xAB的中点的横坐标为 0 x证明： 0 ()0fx 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 14 - 27. 已知函数 2 ( )2ln2()f xxxaxaR （）讨论函数( )f x的单调性； （）若存在 0 (0,1x

11、，使得对任意的 2,0)a ，不等式 2 0 ()322(1) a f xaamea（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的 取值范围 28. 已知函数 2 1 ( )ln2 2 f xxxax其中aR （I）讨论函数( )f x的单调性；(II)已知函数 ln ( ) mx g xm x 其中0m 若对任意 1 ,1 2 a存在 12 ,1, x xe使得 12 |()()| 1f xg x成立，求实数m的取值范围。 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 15 - 29.已知函数( )sinf xx （1）当0 x 时，证明： 2 ( ) 1 2 x fx ； （2）若当(0,) 2 x

12、 时， ( ) ( ) ( ) f x f xax fx 恒成立，求实数a的取值范围 30. 设( ) ax f xx e ，( )ln1g xkxx. （1）1a ，( )f x与( )g x均在 0 x取到最大值，求 0 x及k的值； （2）1ak时，求证：( )( )f xg x. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 16 - 31. 已知函数 ,ln.fxax g xx aR （1）当1a 时，求函数 g x y f x 在1,0处的切线方程； （2）若在1,上不等式 1xfxg x恒成立，求实数a的取值范围. 32. 已知函数 ,ln.fxax g xx aR （1） 若函数 yf

13、x与 yg x的图象在0,上有两个不同的交点， 求实数a的 取值范围； （2）若在1,上不等式 1xfxg x恒成立，求实数a的取值范围 （3）证明：对于1,x时，任意0t ，不等式 2 2ln xt txtt x 恒成立. 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 17 - 33.已知函数 2 ( )2lnf xxxmx()mR， 3 ( )() 4 x g xxe. （1）求函数( )f x的单调性； （2）若( )f x存在两个极值点 1212 ,()x x xx，求 12 ()g xx的最小值. 34. 已知函数xaxxfln)(，其中a为常数，设e为自然对数的底数 （1）当1a 时，求(

14、 )f x的最大值； （2）若( )f x在区间(0, e上的最大值为3，求a的值； （3）设)()(xxfxg，若0a 对于任意的两个正实数 1212 ,()x xxx，证明： 12 12 2 ()()() 2 xx gg xg x 自强不息勇攀高峰厚德载物携梦同行 - 18 - 35. 已知函数xaxxfln)(，其中a为常数，设e为自然对数的底数 （1）当1a 时，求( )f x的最大值； （2）设)()(xxfxg，1) 12(2)( 2 axaaxxh，若1x时，)()(xhxg恒 成立， 求实数a的取值范围 36. 已知函数 2 ( )2lnf xxxax （1）当5a 时，求( )f x的单调区间 （2） ) 11 (,()A xf x， 22 (,()B xf x分别是图像上的两个相异的点， 若AB的斜率1k 恒成立，求实数a的取值范围。 （3） 若函数( )f x有两个极值点 1212 ,x x xx且 2 xe若 12 ()()f xf xm恒成立， 求实数m的