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1、16、比和比例问题知识要点梳理一、比例尺应用题在比例尺应用题中,图上距离、实际距离和比例尺三者之间的关系式是:图上距离实际距离比例尺,三个相关的量中,知道任意两个量,就可以根据关系式,求出另一个量。在计算中,要注意各种量的单位要统一。二、按比例分配的应用题把一个数量按照一定的比分配成几部分。按比例分配应用题是在比的意义、比与分数的关系的基础上解决的。关键是要根据各部分之比,确定各部分量与总量之间的关系,即各部分占总量的几分之几,然后按照“求一个数的几分之几是多少”的问题。三、正、反比例应用题正比例应用题中的各种相关联的数量有正比例关系,关系式是:yx(一定);反比例应用题中的各种相关联的数量有
2、反比例关系,关系式是:(一定)。四、解答正、反比例应用题的一般方法与步骤找出题目中两种相关联的量,并分析判断是成正比例,还是成反比例。设未知数为,并注明单位名称。根据比值(一定)或积(一定)建立比例式,并解比例。检验,写答语。考点精讲分析典例精讲考点1 按比例分配的应用题【例】希望小学要种一批树共390棵,按照三个班的人数来分配。一班有42人,二班有45人,三班有43人,三个班各应植树多少棵?【精析】这是一道把390棵植树任务按三个班人数之比42:45:43进行分配的问题。要分的总数是390,总份数是42+45+43=130。其中一班占总数的42130,二班占总数的45130,三班占总数的43
3、130,要求各班应植树的棵数,实际上是分别求390的42130,45130,43130各是多少。【答案】解法一:按比例分配法42+45+43=13039042130126(棵)39045130135(棵)39043130129(棵)解法二:份数解法390(42+45+43)3(棵)342126(棵)345135(棵)343129(棵)答:一班应植树126棵,二班应植树135棵,三班应植树129棵。考点2 比例尺应用题【例】下面是学校操场的示意图。求这个操场的实际周长和面积。【精析】要求出长方形操场的实际周长和面积,必须先根据图上距离和比例尺求该操场的实际长和宽。【答案】解法一:用比例做方程解。
4、设操场的实际长为厘米,宽为厘米。根据题意列比例方程:4.415000 3.2150004.45000 3.25000220001600022000厘米220米 16000厘米160米操场的周长:(220+160)2760(米)操场的面积:22016035200(平方米)解法二:根据图上距离、实际距离和比例尺三者的关系解。实际长为:4.41500022000(厘米)220(米)实际宽为:3.21500016000(厘米)160(米)操场的周长:(220+160)2760(米)操场的面积:22016035200(平方米)解法三:根据图距,实距之间的倍数关系来解。()图上厘米相当于实际距离多少米?5
5、000厘米50米()实际长为几米?504.4220(米)()实际宽为几米?503.2160(米)()操场的周长:(220+160)760(米)()操场的面积:22016035200(平方米)答:操场的周长760米,面积为35200平方米。【归纳总结】这道题要注意单位的换算和比例尺的应用。考点3 正、反比例应用题【例】同学们小时制作了165件工艺品,照这样计算,制作220件工艺品需要多少小时?【精析】数量关系是“工艺品件数所需时间每小时制作的工艺品件数(一定)”。商一定,所以工艺品的件数和所需要时间是成正比例的量。可直接列方程求解。【答案】设需要小时。1653220 165220答:需要小时。【
6、归纳总结】本题中“同学们每小时制作多少工艺品”是定量,“需要制作的工艺品件数”和“需要的时间”是两个相关联的量。【例】收获机械厂生产一批脱粒机,计划每天生产32台,30天完成,实际每天生产40台,实际需要多少天就可以完成生产任务?【精析】数量关系是“每天生产的台数天数生产的总数(一定)。”积一定,所以每天生产的台数与所需的天数是成反比例的量。可直接列方程求解。【答案】设实际需要天就可以完成生产任务。40323024答:实际需要24天就可以完成生产任务。【归纳总结】本题所要生产的“一批脱粒机”的台数是定量,每天生产与所需要的天数是两个相关联的量。考点4 比例应用题【例】有大小两筐苹果,大筐苹果与
7、小筐苹果单价比,其重量比是,把两筐苹果混合在一起成100千克的混合苹果,按单价为每千克4.4元出售,若总销售价不变,大小两筐苹果原价各是多少?【精析】知大、小苹果总价比,又知总价1004.4按比例分配两次。一次是大、小数量,一次是大、小总价。此时易求出原单价。【答案】()()10022+340(千克)1004060(千克)1004.4440(元)44055+6200(元)200405(元)(440-200)60(元)答:大筐苹果单价是元,小筐苹果单价是元。【归纳总结】已知单价比和重量比可求出复比。名题精析【例】(西安交大附中入学)一个圆柱和一个圆锥的体积比是,底面半径比是,圆柱与圆锥的高之比是
8、()()。【精析】本题要求圆柱与圆锥高之比,反用公式体积除以底面积。本题中没有相关的具体数据,可以将题目中的比当做具体数量来算。这样圆柱的体积是,底面半径是,圆锥的体积是,底面半径是,再根据圆柱和圆锥的体积公式进行计算就可以。【答案】()()16【归纳总结】本题在列式计算时,圆周率取先不要算,最后在约分,这样可以使计算简便,其实,这实质是活用转化。圆周率不变,半径的平方比就是面积比。【例】(西安高新某中入学)甲、乙、丙三批货物总价值2580万元,甲、乙、丙三批货物的质量比为,单位质量的价格比为,问这三批货物各值多少万元?【精析】甲货价乙货价丙货价(甲单价甲物重)(乙单价乙物重)(丙单价丙物重)
9、,可求出三批货物的价值比为()()()151612,按比例分配。【答案】三批货物的价值比为()()()15161225801515+16+12900(万元)25801615+16+12960(万元)25801215+16+12720(万元)答:甲、乙、丙三批货物分别值900万元、960万元、720万元。【归纳总结】已知总数为货物总价值,应按货物价值的比例进行分酬。货物价值单价质量。毕业升学训练一、填空题在一张精密的零件图纸上,量的零件长是40毫米,这个零件的实际长度是毫米,这幅图纸的比例尺是( )。在比例尺是600000的地图上,量得两地的距离是厘米,这两地的实际距离是( )。一个长方形操场,
10、长120米,宽80米,如果把它画在比例尺是2000的图纸上,则长是( )厘米,宽是( )厘米。甲乙两数的和是72,甲数的32相当于乙数的34,甲数是( ),乙数是( )。一个三角形三个内角度数的比是,这个三角形是( )三角形。二、选择题在地图上量得甲、乙两地长厘米,甲、乙两地实际距离是千米,地图上的比例尺是( )。160000 160000016000000 160000000在比例尺是1000000的地图上,50千米的距离在地图上应画( )厘米。0.5 10 50某小学男生人数与女生人数的比是,男生比女生多的人数占全校人数的( )。611 511 111有一种药水重20.2千克,药和水的重量
11、比是100,其中水重( )千克。0.2 20 20.2把一批图书按照分配给甲、乙、丙三个班,已知甲班分得15本,这批图书一共有( )本。50 60 40 70某班学生为失学儿童捐款640元,女生捐的钱与男生捐的钱之比是,王明根据上面的条件,得到下面四个结论,其中错误的是( )。女生比男生多捐款23 男生比女生少捐款23男生共捐款240元 男生比女生少捐款25三、解决问题在比例尺是12000000的铁路运行图上,量得甲、乙两城间的铁路线长是3.6,将它画在比例尺4000000地图上,甲、乙两城之间的图上距离是多少?两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的质量比是,另一块合金中铜与锌的质量比是。现将两
12、块合金合成一块,求新合金中铜与锌的质量比。甲、乙两个仓库共存粮1680吨,已知甲仓库存量的13等于乙仓库存粮的14,求甲、乙两个仓库各存粮多少吨?甲种糖每千克元,乙种糖每千克5.4元。现在要求混合后的糖价为每千克4.8元,求甲、乙两种糖的质量比。一架飞机所带的燃料最多可以用小时。飞机去时顺风,每小时飞行750千米;返回是逆风,每小时飞行600千米。这架飞机最多飞出去多少千米就必须往回飞?红队和蓝队的同学都积攒了一些零用钱,两队所积攒的钱数比是,在献爱心活动中,红队捐了48元,蓝队捐了20元,这时两队的钱数相等,红队原来积攒了多少钱?一个等腰三角形底和底边上的高之比是,把它沿底边上的高剪开,拼成
13、一个长方形后,长方形的面积是48平方厘米,那么长方形的周长是多少厘米?冲刺名校提升一、填空题(成都某一中入学)一个三角形的三个内角的度数比是,这个三角形是个( )三角形。(西安某交大附中入学)如图,线段上有一点,且,则长为( )。(西安某工大附中分班)一张精密零件图纸的比例尺是。在图纸上量得某个零件的长度是25毫米,已知这个零件的长与高之比,则该零件的实际高度是( )。(宝鸡高新某中入学)地和地之间相距1200千米,画在一副比例尺为4000000的地图上,这两个城市之间的图上距离应该画( )厘米。(西安某西工大附中分班)有一个机器零件长毫米,画在设计图纸上长20厘米,这幅图的比例尺是( )。(西安某交大附中入学)在比例尺是5000000的地图上,量得甲、乙两地之间的距离为24厘米,若一架飞机以每小时600千米的速度从甲