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1、 数学史选讲 简介 目标 了解数学发展的脉络 了解数学在人类文明发展历史中 的作用和意义 目标 了解社会发展对数学发展的作用 了解数学家在数学发展中的不屈不挠的奋斗 精神和高尚的情操 了解一些数学重大成就和重要思想产生的 背景和过程 目标 通过对数学知识产生、发 展过程与学习认知过程的比较 ，加深对数学知识的进一步认 识 目标 开 阔 视 野 拓 展 见 识 提 高 兴 趣 第一章 数学发展的四个时期 数学形成时期 远古公元前6世纪 初等数学时期 公元前6世纪16世纪 变量数学时期 17世纪19世纪初 现代数学时期 19世纪初 现在 数学形成时期 数的产生 记数法的出现 进制的诞生 经验几何
2、算术 “用十个记号来表示一切数，每个记号不但有绝对 值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度 。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如 此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰 是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方 便，才使我们的算术在一切有用的文明中列在首 位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两个 人物阿基米德和阿波罗尼奥斯的天才思想的关注 时，我们更感到这成就的伟大了.” 拉普拉斯 初等数学时期 演绎体系的形成 欧式几何 数与运算的发展 代数方程理论的建立和发展 在前人基础上，欧几里德对数学进行系 统整理和理论概括，他的著作几何原本 是以最基本的概念、公设、公理为推理 的出发
3、点，推导出一系列定理和结论。这 就是公理化思想。欧几里德的几何原本 是数学史上的第一座理论丰碑，其最大 的功绩在于确立了数学中的演绎范式。 变量数学时期 解析几何 非欧几何-拓扑学 微积分（牛顿、莱布尼兹） -分析类的分 支 概率统计 - 变量数学时期 数学中的转折点是笛卡儿的变数.有了变数， 运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学 有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了 在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪 下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高 胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯 粹的和唯一的功绩，那正是在这里。 恩格斯 现代数学时期 形成坚实的数学基础丰富的数学分支
4、 计算机诞生、发展数学的发展与繁荣 数学应用 一批新的应用数学分支 一批新的交叉数学分支 推动了其他学科（自然科学、人文社会科学）的发展 数学应用渗透到各行各业，深入了人们的日常生活 现代数学时期 社会对数学和数学工作者的需求发生了实质性的 变化 日常生活、 生产、管理实践、 各个学科（自然科学、人文社会科学）、 技术科学、 人才的知识结构等等。 社会就业形势 向数学提出了大量的问题 现代数学时期 数学的发展促进了计算机的诞生 计算机的发展推动了数学的繁荣 现代数学时期 高科技本质上是数学技术 大卫 数学从幕后走到台前，在很多方面直接为社会创 造价值。 姜伯驹 数学无处不在 王绶琯 第二章 数
5、与符号 数的表示记数法与进制 中国是最早采用十进制的国家,这是一个伟大的成就.在 商代中期的甲骨文中已有十进位,其中最大的数为三万.到 春秋战国时代,开始出现严格的“十进位值制筹算”记数。这 种十进位制记数法是中国古代数学对人类文明的特殊贡献 . 历史上曾出现各种各样的进位制,有二进制、三进制、 五进制、八进制、十二进制、十六进制、二十进制、六十 进制等等. 中国、埃及、印度采用十进制，巴比伦人采用 六十进制，罗马人采用十二进制，玛雅人采用二十进制. 记数法与十进制的诞生是科学发展史上一次重大的飞 跃，是人类文明史中的最伟大的一座丰碑。 第二章 数与符号 数的发展 正整数、正分数、无理数、负数
6、、零、复数 中国是世界上对负数认识最早的国家.负数是在九章 算术中首先出现的.但欧洲人承认负数却在16世纪，比 中国晚了一千多年。 希腊的毕达哥拉斯学派发现了“无理数” 印度人起初用空位表示零,后记成“点”,最后发展为“圈”.直 到公元11世纪,包括有零号的印度数码和十进制记数法臻 于成熟,特别是印度人不仅把“0”看作是记数法中的空位,而 且也把它看作可施行运算的一个特殊的数. 零号的发明是 印度对世界文明的杰出贡献. 第二章 数与符号 印度数学家婆什迦罗是第一个遇到“虚数”的人。 舒开成为在其数学著作中讨论这种数的第二人.很 明显,舒开已经拨响虚数概念的琴弦,却又把弦弄断 了,推迟了虚数概念
7、的降生. 欧拉给出了i的记号。 瑞士人阿尔冈（Jean-Robert Argand 1768 1822）给出了复数和复数的代数运算的几何解释 。我们现在用的基本上是阿尔冈的方法。 在使人们接受复数方面，高斯做出了实质性的贡 献。 第二章 数与符号 运算对象的拓展 数、字母、代数式、向量、函数、变 换等等 代数结构 数域、群、环、域等 第二章 数与符号 数学符号进化的过程经历了三个阶段：文 字阶段，简写阶段和符号阶段。实际上大 多数符号的出现还不到四百年。 引进符号体系是代数学的一个根本性的进 步。事实上，由于建立了完善的符号体系 ，才使代数学成为一门科学。 第三章 几何学发展史 如何研究大自然
8、中丰 富多彩的“形”和人为创造 的各式各样的“形”呢？人 们从观察和实验开始，从 简单到复杂，从具体到抽 象，从整体到局部，从局 部到整体；不断地积累几 何学的知识；不断地整理 零散的、孤立的知识；不 断地构建一个又一个的几 何学理论体系；不断地发 掘几何学与其他学科的联 系和实际应用。到今天， 几何学已经是一个大的学 科，其中包含绚丽多彩的 各种分支。 第三章 几何学发展史 归纳与经验的几何学 最初的一些几何概念和知识要追溯到 史前时期，它们是在实践活动的进程中产 生的。大自然为人们提供了丰富多彩的几 何形体。 例如，基本几何图形球、平面、直线等； 基本几何量长度、面积和体积等。 第三章 几
9、何学发展史 公元前7世纪，几何学从埃及传到了希腊。在希腊人手里 ，几何学发生了质的变化。 演绎数学就在希腊诞生 。 欧几里得曾在柏拉图学院受过教育，后来移居亚历山大城 从事教学活动。他把亚里士多德的逻辑、结构、证明和推 理的严密性应用到数学中。欧几里得至少有10部著作，其 中5部被相当完整地保存了下来，但是，使他名垂不朽的 是几何原本。欧几里得的几何原本(Euclid,约公 元前330-前275)的出现是数学史上的一个伟大的里程碑. 它是古希腊数学成果、方法、思想和精神的结晶。它是数 学史上第一个逻辑结构严谨、体系宏伟的演绎系统，是数 学知识系统化的开端，对后世数学、科学的发展起了不可 估量的
10、示范作用。从它刚问世起就受到人们的高度重视. 自1482年第一个印刷本出版以后,至今已有一千多种版本. 第三章 几何学发展史 在西方世界，古希腊人已经在艺术和数学之间建 立了密切的联系，因为数学和艺术构成他们世界 观的主要部分。但是，在宗教统治的中世纪，这 种观点被抛弃了。直至文艺复兴时期，重新唤起 了人们对艺术和数学的渴望，唤起了人性的觉醒 ，人们重新恢复了对大自然的兴趣，渴望描述真 实的世界，数学成为了反映世界和描述艺术的工 具。那个时期，艺术家都是工程师和建筑师，他 们具有良好的数学基础，可以说他们本身就是数 学家。 第三章 几何学发展史 画家们在发展聚焦透视体系的过程中引入了新的几何思
11、想 ，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何 。 射影几何的诞生必须提到这样几位人物。 首先，是数学透视学的天才阿尔贝蒂(L.B.Alberti,1404 1446)，他不仅提出了投影线、截景等概念，还阐述了截 景的数学性质。 其次，就是自学成才的德沙格(G.Desargues,1591 1661)，他提出了许多创造性的思想，包括为平行线引入 无穷远点，进而引出无穷远线的概念。 帕斯卡（B.Pascal,16231662）同样也为射影几何的诞 生做出了不朽的贡献。 第三章 几何学发展史 射影几何集中表现了投影和截影的思想,论 述了同一射影下，一个物体的不同截景所 形成的几何图形的共同
12、性质，以及同一物 体在不同射影下截景的几何图形的共同性 质。这门”诞生于艺术的科学”,今天成了最美 的数学分支之一. 第三章 几何学发展史 在17世纪，数学科学发生了根本性的转折，这种转折实质 上是由社会生产力的急速发展所引起的。数学根本性的转 折之一是解析几何的诞生。 解析几何的创始人是笛卡儿和费马.他们都对欧氏几何的 局限性表示不满:古代的几何过于抽象,过多地依赖于图形. 他们对代数也提出了批评,因为代数过于受法则和公式的 约束,缺乏直观，不是有益于发展思想的艺术.同时,他们都 认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理,而代数 学能用来对抽象的未知量进行推理,代数学是一门潜在的 方法科学
13、.因此,把代数学和几何学中一切精华的东西结合 起来,可以取长补短.这样一来,一门新的科学诞生了. 第三章 几何学发展史 笛卡儿的理论以两个思想为基础: 一个是坐标思想； 另一个是方程与曲线的思想，即两个未知 数表示的某个代数方程可以看成平面上的 一条曲线；反之，一条曲线可以用曲线上 任意点（x , y）坐标之间的方程关系来表示 。 第四章 数学史上的丰碑 微积分 积分发展的历史足迹 古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德，我 国古代著名数学家刘徽，祖冲之、祖暅父子等为 积分思想的形成和发展做出了重要的贡献，他们 的工作领先了欧洲数学家的工作一千多年。 16，17世纪是微积分思想发展最为活跃的时
14、期， 其杰出的代表有伽利略（Galileo Galilei, 1564- 1642，意大利天文学家、力学家、哲学家），开 普勒(Johanns Kepler,1571-1630，德国天文学家 、数学家、物理学家和哲学家)，卡瓦列里等。他 们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定 了基础。 第四章 数学史上的丰碑 微积分 极限的思想圆周率 关于圆周率的最早记录出自公元前1650年的兰德 草卷，这是一位名叫亚米斯的埃及抄写员的手稿 。 阿基米德（Archimedes, 约公元前287前212） 对圆周率的计算作出新的突破。他也利用穷竭法 ，但不是计算多边形的面积，而是计算多边形的 周长。他计算了两个96边形的周长。 祖冲之（429500）对圆周率逼近的这个记录保 持了一千年的领先地位，直到15世纪才为阿拉伯 数学家卡西所超过。卡西在1429年算到了小数点 后16位。16 世纪荷兰的奥托重新发现密率。 第四章 数学史上的丰碑 微积分 正是科学和生产中面临的这些重要问题， 促进了微积分的诞生与发展。 在微积分诞生和发展时期，一批伟大的数 学家做出了杰出的贡献，例如，伽利略， 开普勒，卡瓦列里，费马（Pierre de Fermat16011665，法国数学家），巴罗 ，牛顿，莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz
