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1、11 运动方程 11-1 薛定谔方程 11-2 演化算符 11-3 绘景变换 薛定谔绘景 11-4 海森伯绘景 11-5 连续性方程* 11-6 相互作用绘景 11-1 薛定谔方程 (11.1) 薛定谔方程适用于粒子有自旋或无自旋以及单粒子或多粒 子等所有情况. 当单粒子有自旋时, 态矢量和哈密顿分别是位形 空间和自旋空间二者的直积空间中的矢量和算符; 当系统是多 粒子系统时, 则是多个单粒子空间的直积空间中的矢量和算符. 系统的运动方程取决于系统本身的情况和外部环境, 而外部环 境通常是电磁场和各种模型中的势场. 当系统的线度不大时外 加的宏观电磁场可以看成是均匀的, 但可随时间变化, 哈密
2、顿中 的明显含时因素几乎全部出自外电磁场的变化. (11.2) 其中 将上式右方的括号展开, 可得 (11.3) (11.3)式右方第二项成为 从(11.4)式得到一个重要的结论, 即带电粒子的轨道磁矩算符为 (11.5) (11.6) 玻尔磁子： 于是单粒子的哈密顿可以写成 (11.4) (11.8) 一个电子的自旋磁矩与自己的轨道磁矩的相互作用能, 例如对类 氢离子中的电子为 (11.9) 讨论原子问题时, 常在(11.4)式的哈密顿上, 加上自旋引起 的能量(11.8)和(11.9)式. 这些都相当于(11.4)式中的 V 这一项. 电子的自旋磁矩算符为 (11.7) 11-2 演化算符
3、 (11.11) (11.12) (11.13) 即 (11.14) (11.15) 这样将上式中的积分上限全部写成t , 则有 (11.16) 再定义一个时序算符C, 它作用在一系列时间函数的乘积上, 使 这一乘积的次序重新排列, 时间大的因子排在前边(左边), 按时 间依次排列, 时间最小的因子在最右边, 即 (11.17) 简记为如下紧凑的记号: 11-3 绘景变换 薛定谔绘景 量子力学中的各种关系式, 可以直接用矢量和算符表示, 也 可以取不同的表象, 用矩阵表示. 不同表象中的矢量和算符, 通过 一个不含时间的幺正矩阵(4.10)联系起来. 一个关系式在不同表 象中的形式是完全平行和
4、等价的. 改变绘景的目的是选择适当的含时幺正变换, 使得在新的绘 景中为解决某一具体问题带来一些方便. (11.18) 而算符一般则是不含时的(一些含时的微扰除外, 这种情况我们 暂不考虑), 这样就有 (11.19) 在薛定谔绘景中还可以取各种表象, 每一种表象都同一组特 定的基矢相联系，而基矢是不含时的。设想我们去看希尔伯特 空间，我们应该看到，描写状态的态矢量都是按一定规律运动 的, 每一组基矢则是静止的, 态矢量的各种表象, 不论写成矩阵形 式或函数形式, 都是随时间变化的。因为它们是运动的态矢量在 静止的基矢上的分量. 11-4 海森伯绘景 (11.20) (11.21) (11.2
5、2) 于是得 由变换方程(11.21)式可知 所以可以将哈密顿算符右上角表示绘景的标记略去. (11.23) 或 显然, 不含时的哈密顿H本身是一个守恒量. 其中 于是证明了守恒量在含时态中取各值的概率与时间无关. 由此性 质又可以得出下面几条结论: 守恒量A在系统任意状态中的平均值不随时间变化. 若守恒量于某一时刻在给定态中取确定值, 则在此后(以及 此前)的任意时刻均取相同的确定值. 在量子力学中, 研究守恒量是非常重要的. 守恒量与系统 的哈密顿的各种对称性有密切的关系, 我们将在第四章中详细 研究这个问题. (11.24) 用经典力学来比喻, 就是我们建立了一个与动矢量相”固连”的 动
6、坐标系, 观察者“站在”动坐标系上去观察那个动矢量, 他看 到的这个矢量将是静止的. 这时动基矢只是相位在作周期性的变化. 但是, 对于这种经典力学的比喻不能十分认真, 这只是一 种比喻. 因为这里的动基矢框架(11. 24)式, 并不像动坐标那 样是彼此相固连的, 它们虽然按照同一运动规律运动, 但各自 的运动是彼此不同的. 然而它们却时时刻刻保持着归一化和彼 此的正交性. 这是复空间特有的性质. (11.25) 在海森伯绘景中, 位置算符与动量算符随时间变化的规律 , 根据(11. 23)式及(6. 9)式为 此二式与经典分析力学中的哈密顿正则方程的形式完全一致. (11.26) 11-6 相互作用绘景 (11.36) (11.37) 所用的变换算符为 (11.38) 相互作用绘景中的态矢量和算符就都是随时间变化的. 它 们的运动方程可以对(11.36)和(11.37)二式求导得出: 即 算符的运动方程为 (11.39) (11.40) 式中 例如，在相互作用绘景中，态矢量的演化关系为 (11.41) (11.42) (11.43) 这就是相互作用绘景中的能量表象的运动方程. 不少教材在讨论含时微扰时, 为了解薛定谔绘景中的薛定谔方程: (11.44) (11.45) 这一方法最早是狄拉克提出的, 所以相互作用绘景又称狄拉克绘景.
