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1、2.1 平面应力与平面应变平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 2.3 一点的应力状态一点的应力状态 2.4 几何方程几何方程 2.5 物理方程物理方程 2.6 边界条件边界条件 2.7 圣维南原理圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 本章内容 平衡微分方程：平衡微分方程：2 2个，两类问题完全相同个，两类问题完全相同 几何方程：几何方程：3 3个，两类问题完全相同个，两类问题完全相同 物理方程：物理方程：3 3个
2、，个，两类问题不同两类问题不同，只需对系数作替换，只需对系数作替换 未知函数：未知函数：3 3个应力分量、个应力分量、3 3个应变分量、个应变分量、2 2个位移分量个位移分量 边界条件：边界条件：8 8个方程是弹性体内部必须满足的条件，而个方程是弹性体内部必须满足的条件，而 在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合）在边界上则必须满足边界条件（应力、位移、混合） 平面问题的基本方程与未知数平面问题的基本方程与未知数 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 平面问题的求解方法 1.1.按位移求解：按位移求解：以以 2 2 个位移分量个位移分量为基本未知函数，从基本为基本未
3、知函数，从基本 方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位方程和边界条件中消去应力分量和应变分量，导出只含位 移分量的基本方程（移分量的基本方程（平衡微分方程平衡微分方程）和边界条件，由此解）和边界条件，由此解 出位移分量，然后根据几何方程和物理方程求应变分量和出位移分量，然后根据几何方程和物理方程求应变分量和 应力分量。应力分量。 求解方法：求解方法：未知函数及方程较多，难于求解，通常采未知函数及方程较多，难于求解，通常采 用消元法。又可分为：用消元法。又可分为：按位移求解按位移求解和和按应力求解按应力求解。 2.8 平面问题的求解方法 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本
4、理论 位移分量 u、v 应变分量 ex、ey、gxy 应力分量 sx、sy、txy 位移解法应力解法物理方程几何方程 2.2.按应力求解：按应力求解：以以 3 3 个应力分量个应力分量为基本未知函数，从基为基本未知函数，从基 本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含本方程和边界条件中消去位移分量和应变分量，导出只含 应力分量的基本方程（应力分量的基本方程（变形协调方程变形协调方程）和边界条件，由此）和边界条件，由此 解出应力分量，然后根据物理方程和几何方程求应变分量解出应力分量，然后根据物理方程和几何方程求应变分量 和位移分量。和位移分量。 2.8 平面问题的求解方法 第二章第二章
5、平面问题的基本理论平面问题的基本理论 位移分量 u、v 应变分量 ex、ey、gxy 应力分量 sx、sy、txy 位移解法应力解法物理方程几何方程 1. 按位移求解推导过程：按位移求解推导过程：以以 2 个位移分量个位移分量 u 和和 v 为基本未知函为基本未知函 数。为了消元，其它数。为了消元，其它 6 个未知函数须用个未知函数须用 u 和和 v 表示表示,步骤如下；步骤如下； （1 1）将应变分量用）将应变分量用 u 和和 v 表示表示，直接采用几何方程：，直接采用几何方程： （2 2）为了将应力分量用）为了将应力分量用 u 和和 v 表示表示，将几何方程代入用应变，将几何方程代入用应变
6、 表示的物理方程（表示的物理方程（以平面应力问题为例以平面应力问题为例）得到）得到用位移表示的物用位移表示的物 理方程理方程： xyxy xyy yxx E E E t g sse sse )1 (2 )( 1 )( 1 xyxy xyy yxx E E E g t ee s ee s )1 (2 )( 1 )( 1 2 2 y u x v y v x u xyyx gee,式式(2-8) 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题 2 2 () 1 () 1 () 2(1) x y xy Euv xy Evu yx Evu xy s s t （3 3）推导
7、求位移分量的方程。将位移表示的物理方程（）推导求位移分量的方程。将位移表示的物理方程（2 2- -1717 ）代入平衡微分方程，得到）代入平衡微分方程，得到用用 u 和和 v 表示的平衡微分表示的平衡微分方程方程 ，即为求解位移的基本方程（，即为求解位移的基本方程（2 2- -1818）拉梅方程拉梅方程 ： （4 4）推导用位移表示的边界条件。将位移表示的物理方程（）推导用位移表示的边界条件。将位移表示的物理方程（2 2- - 1717）代入）代入应力边界条件应力边界条件，得到，得到用用 u 和和 v 表示的表示的应力边界条件应力边界条件： 0 0 y xyy x yx x f xy f yx
8、 ts t s 式式(2-17) )()( )()( sfml sfml ysyxy xsxyx st ts 此外，此外，位移边界条件位移边界条件不变：不变： )()(),()(ssuu ss uu式式(2-14) 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题 222 222 222 222 11 0 122 11 0 122 x y Euuv f xyx y Evvu f yxx y （） （） 2 2 1 ()() 12 1 ()() 12 sx sy Euvuv lmf xyyx Evuvu mlf yxxy 2 2 () 1 () 1 () 2(1)
9、x y xy Euv xy Evu yx Evu xy s s t 2. 按位移求解总结：按位移求解总结： （1 1）平面应力问题按位移求解的方法，就是使位移分量）平面应力问题按位移求解的方法，就是使位移分量 u 和和 v 满足如下条件：满足如下条件： （a a）在区域内满足）在区域内满足平衡微分方程平衡微分方程(2-18)-拉梅方程拉梅方程； （b b）在边界上满足）在边界上满足应力边界条件应力边界条件(2-19)或或位移边界条件位移边界条件(2-14) 。 求解出位移分量 求解出位移分量 u 和和 v 后，代入几何方程后，代入几何方程(2-8)求应变分量求应变分量 ，代入方程，代入方程(2
10、-17)求应力分量。求应力分量。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题 位移分量 u、v 应变分量 ex、ey、gxy 应力分量 sx、sy、txy 位移解法应力解法物理方程几何方程 上述条件也是校核位移是否正确的全部条件。对于已有的上述条件也是校核位移是否正确的全部条件。对于已有的 应力解答，可利用这些条件来进行校核。应力解答，可利用这些条件来进行校核。 （3 3）应用情况：）应用情况：按位移求解需要联立求解二阶偏微分方程，实按位移求解需要联立求解二阶偏微分方程，实 际应用时较难得到精确满足位移边界条件的解析解，得到的已知际应用时较难得到精确满足位移
11、边界条件的解析解，得到的已知 解答较少。但由于它能适应各种边界条件问题，它在弹性力学的解答较少。但由于它能适应各种边界条件问题，它在弹性力学的 各种计算机数值解法（例如有限元法）中有广泛的应用。各种计算机数值解法（例如有限元法）中有广泛的应用。 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题 （2 2）将平面应力问题各方程中的）将平面应力问题各方程中的 E 和和 作如下替换，可得作如下替换，可得平平 面应变问题的位移法面应变问题的位移法求解方程和边界条件：求解方程和边界条件： 1 1 2 E E 或者：或者： 直接将平面应力问题的解答中直接将平面应力问题的解答中
12、 的的E 和和 作同样的替换，得到平面作同样的替换，得到平面 应变问题的解答应变问题的解答 （1 1）将问题作为一维问题处理。有将问题作为一维问题处理。有 u=0 , v = v(y)泊松比泊松比 =0，代入用位移表示的平衡微分方，代入用位移表示的平衡微分方 程程(2-18)，第一式自然满足，第二式变为第一式自然满足，第二式变为 例例2.7 设如图设如图(a)所示的杆件，在所示的杆件，在y方向的上端固定，下端自由，方向的上端固定，下端自由， 受自重体力受自重体力fx=0， fy =r rg（r r为杆的密度，为杆的密度，g为重力加速度）的为重力加速度）的 作用。试用位移法求解此问题。作用。试用
13、位移法求解此问题。 E g dy dru 2 2 求解上述常微分方程，积分得求解上述常微分方程，积分得 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题 222 222 222 222 11 0 122 11 0 122 x y Euuv f xyx y Evvu f yxx y （） （） 2 2 ( ) 2 ( )()() 1 y g yyAyB E Eug yEyA yxE r u ur s （2 2）根据边界条件来确定常数根据边界条件来确定常数 A 和和 B （3 3）代入几何方程（代入几何方程（2 2- -8 8）求应变）求应变 e ey， ，并将 并将
14、 它代入用位移表示的物理方程（它代入用位移表示的物理方程（2 2- -1717）求应）求应 力力 s sy )2( 2 )( 2 yhy E g y r u )()(yhgy y rs 上下边的边界条件为：上下边的边界条件为： v(y)|y=0=0 和和 s sy |y=h=0 分别代入位移函数及式（分别代入位移函数及式（2 2- -1717）的第二式）的第二式 2 2 ( ) 2 ( )()() 1 y g yyAyB E Eug yEyA yxE r u ur s 可求得待定常数可求得待定常数 A=r rgh/E 和和 B=0。从而有。从而有 ： 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 2.8 按位移求解平面问题 2.1 平面应力与平面应变平面应力与平面应变 2.2 平衡微分方程平衡微分方程 2.3 一点的应力状态一点的应力状态 2.4 几何方程几何方程 2.5 物理方程物理方程 2.6 边界条件边界条件 2.7 圣维南原理圣维南原理 2.8 按位移求解平面问题按位移求解平面问题 2.9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 2.10 常体力情况下的简化常体力情况下的简化 第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论 本章内容 消去位移分量：消去位移分量：将平面问题几何方程中将平面问题
