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1、 微积分II期末模拟试卷1（满分：100分；测试时间：100分钟）1、 填空题（3X5=15）1、 幂级数的收敛区间为_2、 由曲线及直线所围成平面区域的面积是_3、 改变的积分次序_4、 微分方程的通解 5、设, 则极限等于_2、 选择题（3X5=15）6、定积分的值是（ ）。（A） 0 ； （B） 2 ； （C） 2e2+2； （D） 7、一曲线在其上任意一点处的切线斜率等于，这曲线是（ ）(A)直线； (B)抛物线； (C)圆； (D)椭圆8、设函数，其中可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）9、设函数的全微分为，则点（ ）不是的连续点.不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点1
2、0、设级数，且收敛，则级数（ ）（A）收敛 （B） 发散 （C）不定 （D） 与有关3、 计算题（5X10=50）11、 计算下列定积分(1) ； (2)求抛物线及其在和处的切线所围成图形的面积。12、计算下列多元函数微积分(1)设f, g为连续可微函数, , 求.(2)设, 其中j为可微函数, 求.13、计算下列二重积分（1）计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.（2）计算，其中D是由所围成的闭区域.14、处理下列级数(1) 求的敛散性 （2）求的和函数15、求解下列微分方程（1） （2）四、综合题（2X10=20）16、求函数的极值.17、设都是方程的特解，且不恒等于常数，证明为方程
3、的通解（其中为任意常数）。 微积分II期末模拟试卷2（满分：100分；测试时间：100分钟）2、 填空题（3X5=15）1、 _2、用积分形式表示为_3、已知过(0, ), 其上任一点处的切线斜率为, 则=_.4、幂级数的和函数为_.5、设函数由方程确定, 则_.4、 选择题（3X5=15）6、设收敛, 常数, 则级数(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 收敛性与l有关7、曲线经过点，且满足微分方程，则当时，（ ）(A)0； (B)1； (C)2； (D)48、设是圆域的第象限的部分，记，则（A） （B） （C） （D）9、设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一
4、个充分条件是 (A) (B) (C) (D) 10、设, 则 (A) (B) (C) (D) 5、 计算题（5X10=50）12、 计算下列定积分(1) ； (2)求绕轴旋转的旋转体体积12、计算下列多元微积分（1）设, 其中f(u, v)具有二阶连续偏导数, 二阶可导, 求.（2）.13、计算下列二重积分（1）设平面区域D是由曲线所围成，求（2）求二重积分，其中14、处理下列级数（1）试确定的收敛半径、收敛区间和收敛区域。（2）把展成x的幂级数。15、求解下列微分方程（1）；（2）。四、综合题（2X10=20）16、设f(x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导且, 求证: 在(a, b
5、)内也.17、求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离。 微积分II期末模拟试卷3（满分：100分；测试时间：100分钟）3、 填空题（3X5=15）1、曲线在处的切线方程为 2、设，则.3、微分方程满足初始条件的特解 4、的敛散性为_5、设D是顶点分别为的直边梯形，计算=_6、 选择题（3X5=15）6、设则有 (A) (B) (C) (D) 7、设函数连续，若，其中区域为图中阴影部分，则 8、二元函数在点处可微的一个充要条件是 （A）.（B）.（C）.（D）.9、设函数在上具有二阶导数，且，令，则下列结论正确的是： (A) 若 ，则必收敛. (B) 若 ，则必发散 (C) 若 ，则必收敛
6、. (D) 若 ，则必发散. 10、微分方程的特解形式可设为（A）.（B）.（C）. （D） 7、 综合题（7X10=70）11、12、13、求微分方程满足初始条件的特解.14、将函数在处展开为幂级数，并求15、设函数由参数方程确定，其中是初值问题的解.求.16、设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。17、求证: 若x + y + z = 6, 则, (x 0, y 0, z 0).微积分II期末模拟试卷1答案123452678910CDADA1、解. , 所以收敛半径为2. 2、 与交点为，取微积分变量则。3、4、该方程为二阶常系
7、数线性齐次微分方程，其特征方程为，解得特征根，从而通解为。5、【答案】【分析】 先用换元法计算积分，再求极限.【详解】 因为 = =，可见 =6、 选（）7、选(D)；按题意有，即，积分得，可见，该曲线是椭圆。8、【详解】应该选（A） 9、【答案】 D【解析】因可得 ，又在（0，0）处，故（0，0）为函数的一个极小值点.10、A解：取，则命题（A）正确。11、(1) 解： 令 得解：切线方程分别为和，其交点坐标是，。12、(1) 解. , . 所以 (2) 解. 原式两边对y求导. . 所以 13、（1)计算，其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域。解：（2）计算，其中D是由所围成的闭区域。解：
8、14、（1）解. 因为, 所以和有相同的敛散性. 又因为发散, 由积分判别法知发散. 所以原级数发散.（2）解. 收敛. 当得及都发散. 所以收敛区域为(1, 1). ,x(1, 1)15、（1）解：变量分离得，两边积分得，从而方程通解为 （2） 解：整理得，可见该方程是一阶线性方程，利用公式得通解为。16、【解析】：，先求函数的驻点：令，解得驻点为.又对点，有所以，故在点处取得极大值.对点，有所以，故在点处取得极小值.17、证明：因为都是方程的特解，所以和都是方程对应齐次方程的解，又因不恒等于常数，所以和线性无关，从而对应齐次方程的通解为，所以原方程的通解为，即。微积分II期末模拟试卷2答案
9、12345 2678910ABBDB1、 原式2、【详解】 3、解. 由题设得微分方程: . 所以. 代入初始条件, 得, 于是c = 0. 得特解4、解. . 该等式在(1, 1)中成立. 当x = 1时, 得到的数项级数的通项不趋于0. 所以, x属于(1, 1).5、【答案】2【解析】利用全微分公式,得 即 , 从而 6、A解. 因为收敛, 所以收敛. . 所以和有相同的敛散性. 所以原级数绝对收敛.7、选(B)；方程为一阶线性微分方程，其通解由时知，所以曲线为，由此，当时。8、B【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知所以，应该选（B）9、【答案】：(D)【解析】：，表示函数关于变量是单
10、调递增的，关于变量是单调递减的。因此，当时，必有，故选D.10、B【分析】 直接计算是困难的，可应用不等式tanxx, x0.【详解】 因为当 x0 时，有tanxx，于是 ，从而有， ，可见有 且，可排除(A) ,(C),(D)，故应选(B).【评注】 本题没有必要去证明，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B) 一定为正确选项. 11、(1) 解：(2) 解：12、（1）解. =（2） , 所以 , 所以所以 13、（1）【详解】（2）【解析】由得，.14、（1）解：令收敛半径：；收敛区间：收敛区域： 故收敛区域为。（2）解. =, (1, 1由于收敛, 所以当时上述级数
11、都收敛. 所以, 1, 115、 （1）解：方程中不显含自变量，所以可令，则，代入方程得，整理得，积分得，即，变量分离并积分得，此即为原方程的通解。（2） 解：由特征方程解得特征根，所以对应齐次方程的通解为。又因为中不是特征根，所以可设原方程的特解为，代入原方程并整理得，从而，即。所以原方程的通解为16、证明: 因为, 所以f(x)单减. =+ =17、【分析】考查的二元函数的条件极值的拉格朗日乘子法【详解】构造函数令，得唯一驻点，即考虑边界上的点，；距离函数在三点的取值分别为，所以最长距离为，最短距离为1微积分II期末模拟试卷3答案12345y=条件收敛678910DACDA1、【答案】【解析】所以 所以 切线方程为.2、【答案】【详解】设，则所以 所以 3、方程中不显含未知函数，因此作变量代换令，则，代入方程得，变量分离法解此方程得，即，代入初始条件得，于是，两边积分得，代入初始条件得，所以所求特解为。4、【答案】条件收敛【解析】解. .因为, 又因为, 条件收敛, 所以原级数条件收敛.5、分析：6、【答案】：(D)【解析】：由于当时，可知，也即，可知。又由于，
