《2020版高考数学大一轮精准复习精练---导数的应用Word版含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高考数学大一轮精准复习精练---导数的应用Word版含解析（89页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020版高考数学大一轮精准复习精练3.2导数的应用挖命题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.导数与函数的单调性1.了解函数单调性和导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)2014天津文,19利用导数研究函数的单调性和极值构造新函数、不等式的证明2.导数与函数的极(最)值1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次),会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)2016天津,20利用导数研究函数的极值和最值导数的运算、不等式的证明3.导数的综
2、合应用利用导数解决实际问题2018天津,20利用导数解决函数零点问题利用导数研究指数函数、对数函数的性质2014天津,20利用导数研究函数的性质分析解读函数的单调性是函数的一条重要的性质,也是高中阶段研究的重点.一般分两类考查,一是直接用导数研究函数的单调性、求函数的最值与极值以及实际问题中的优化问题等.二是把导数、函数、方程、不等式、数列等知识相联系,综合考查函数的最值与参数的值(取值范围),常以解答题的形式出现,分值14分,难度较大.破考点【考点集训】考点一导数与函数的单调性1.已知函数f(x)=xx2+1+1,则函数f(x)的单调增区间为.答案(-1,1)2.已知函数f(x)=1ex+a
3、ln x(aR).(1)当a=1e时,求曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程;(2)若函数f(x)在定义域内不单调,求a的取值范围.解析函数f(x)的定义域为(0,+),导函数f (x)=-1ex+ax=aex-xxex.(1)当a=1e时,因为f (1)=-1e+1e=0, f(1)=1e,所以曲线y=f(x)在(1, f(1)处的切线方程为y=1e.(2)f (x)=aex-xxex(x0),设函数f(x)在定义域内不单调时,a的取值集合是A;函数f(x)在定义域内单调时,a的取值集合是B,则A=RB.函数f(x)在定义域内单调等价于f (x)0恒成立或 f (x)0恒成立,即a
4、ex-x0恒成立或aex-x0恒成立,等价于axex恒成立或axex恒成立.令g(x)=xex(x0),则g(x)=1-xex,由g(x)0得0x1,所以g(x)在(0,1)上单调递增;由g(x)1,所以g(x)在(1,+)上单调递减.因为g(1)=1e,且x0时,g(x)0,所以g(x)0,1e.所以B=aa0或a1e,所以A=a0a0),则函数F(x)=g(x)-f(x)()A.有极小值,没有极大值B.有极大值,没有极小值C.至少有两个极小值和一个极大值D.至少有一个极小值和两个极大值答案C4.已知函数y=f(x)的导函数有且仅有两个零点,其图象如图所示,则函数y=f(x)在x=处取得极值
5、.答案-1考点三导数的综合应用5.已知函数f(x)=pe-x+x+1(pR).(1)当实数p=e时,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程;(2)求函数f(x)的单调区间;(3)当p=1时,若直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点,求实数m的取值范围.解析(1)当p=e时, f(x)=e-x+1+x+1,则f (x)=-e-x+1+1,f(1)=3, f (1)=0.曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=3.(2)f(x)=pe-x+x+1,f (x)=-pe-x+1.当p0时, f (x)0,函数f(x)的单调递增区间为(-,+);当p0时,令f (x)=0,得ex=p,解得x=l
6、n p.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x(-,ln p)ln p(ln p,+)f (x)-0+f(x)2+ln p所以当p0时, f(x)的单调递增区间为(ln p,+),单调递减区间为(-,ln p).(3)当p=1时, f(x)=e-x+x+1,直线y=mx+1与曲线y=f(x)没有公共点等价于关于x的方程mx+1=e-x+x+1在(-,+)上没有实数解,即关于x的方程(m-1)x=e-x(*)在(-,+)上没有实数解.当m=1时,方程(*)化为e-x=0,显然在(-,+)上没有实数解.当m1时,方程(*)化为xex=1m-1,令g(x)=xex,则有g(x)=(
7、1+x)ex.令g(x)=0,得x=-1.当x变化时,g(x),g(x)的变化情况如下表:x(-,-1)-1(-1,+)g(x)-0+g(x)-1e当x=-1时,g(x)min=-1e,当x趋近于+时,g(x)趋近于+,从而g(x)的值域为-1e,+.所以当1m-1-1e,即1-em1时,方程(*)无实数解.综合可知,实数m的取值范围是(1-e,1.炼技法【方法集训】方法1利用导数解决函数的单调性问题1.(2015重庆文,19,12分)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解析(1)对f(x)求导得
8、f (x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,所以f -43=0,即3a169+2-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.令g(x)=0,解得x=0或x=-1或x=-4.当x-4时,g(x)0,故g(x)为减函数;当-4x0,故g(x)为增函数;当-1x0时,g(x)0时,g(x)0,故g(x)为增函数.综上,知g(x)在(-,-4)和(-1,0)内为减函数,在(-4,-1)和(0,+)内为增函数.2.已知函数f(x
9、)=x+axex,aR.(1)求f(x)的零点;(2)当a-5时,求证: f(x)在区间(1,+)上为增函数.解析(1)f(x)的定义域为(-,0)(0,+),令f(x)=0,得x2+a=0,则x2=-a.当a0时,方程无解, f(x)无零点;当a0时,得x=-a.综上,当a0时, f(x)无零点;当a1),则g(x)=3x2+2x+a,其图象的对称轴为直线x=-13,所以g(x)在(1,+)上单调递增.所以g(x)g(1)=312+21+a=5+a.当a-5时,g(x)0恒成立,所以g(x)在(1,+)上为增函数.方法2利用导数解决函数的极值、最值问题3.已知函数f(x)=ln x-ax-1
10、(aR),g(x)=xf(x)+12x2+2x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a=1时,若函数g(x)在区间(m,m+1)(mZ)内存在唯一的极值点,求m的值.解析(1)由已知得x0, f (x)=1x-a=1-axx.(i)当a0时, f (x)0恒成立,则函数f(x)在(0,+)上单调递增;(ii)当a0时,由f (x)0,得0x1a,由f (x)1a.所以函数f(x)的单调递增区间为0,1a,单调递减区间为1a,+.(2)因为g(x)=xf(x)+12x2+2x=x(ln x-x-1)+12x2+2x=xln x-12x2+x,所以g(x)=ln x+1-x+1=ln x-x+
11、2=f(x)+3.由(1)可知,函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减.又因为g1e2=-2-1e2+2=-1e20,所以g(x)在(0,1)上有且只有一个零点x1.又在(0,x1)上,g(x)0,g(x)在(x1,1)上单调递增.所以x1为极值点,此时m=0.又g(3)=ln 3-10,g(4)=2ln 2-20,g(x)在(3,x2)上单调递增;在(x2,4)上,g(x)0,所以函数f(x)在12,1上为增函数,没有极值,不合题意;(ii)当a0时,令g(x)=ex-ax,则g(x)=ex+ax20.所以g(x)在12,1上单调递增,即f (x)在12,1上单调递增,所以函数f(x)在12,1上有极值等价于f (1)0,f 120,e-2a0.所以e2ax恒成立,求a的取值范围.解析(1)因为a=0,所以f(x)=xlnx,x(0,1)(1,+).所以f (x)=lnx-1(lnx)2.令f (x)0,即ln x-10,所以xe;令f (x)0,即ln x-10,所以x1,所以ln x0.所以对任意的x(1,+), f(x)x恒成立等价于x-alnxx恒成立,等价于a1,所以g(x)=2x-lnx-22x.再令h(x)=2x-ln x-2,x1,所以h(x)=x-1x.所以当x1时,h(x)0.所
