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1、二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题专题一 相关知识点1二元一次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2.确定二元一次不等式(组)表示平面区域的步骤（1）确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式AxByC0(0)表示为ykxb或ykxb的形式若ykxb，则平面区域为直线AxByC0的上方；若ykxb，则平面区域为直线AxByC0的下方（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为
2、直线AxByC0的上方；当B(AxByC)0，则截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值(2)若b0，则截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域类型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定1不等式组表示的平面区域为()解析：因为不等式组中两个不等式均未带等号，所以排除A，又不等式y3x12表示的平面区域为直线y3x12的左下方部分，不等式xa，即a.6已知关于x，y的不等式组所表示的平面区域的面积为3，则实数k的值为_解析：直线kxy20恒过点(0,2)，不等式组表示的平面区域如图所示，则A(2,2k2)，B(2,0
3、)，C(0,2)，由题意知2(2k2)3，解得k.7若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是 解析：不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)解得A；解得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中的a的取值范围是0a1或a.题型二线性目标函数的最值（取值范围）1若x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为_解析：作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示由z3x2y，得yx. 作直线l0：yx.平移直线l0，当直线yx过点(2,0)时，z取最大值，zmax32206.2若x，y满足x1y2x，则2yx的最小值是_解析：由条件得即作出不等式组所表示的可行域如图
4、中阴影部分所示设z2yx，即yxz，作直线l0：yx并向上平移，显然当l0过点A(1,2)时，z取得最小值，zmin2213.3若x，y满足则x2y的最大值为 解析：法一：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线x2y0，平移该直线，当直线经过点B(3,4)时，x2y取得最大值，即(x2y)max32411.法二：设zx2y，由题易知，目标函数zx2y的最大值只能在可行域的三个顶点处取得，由题知三条直线的交点分别为，(3,4)，(2,2)，当x，y时，z；当x3，y4时，z11；当x2，y2时，z6，所以zmax11.4设变量x，y满足约束条件则z3x2y的最大值为 解析： 作出不
5、等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线yx，平移该直线，当直线经过C(1,0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z3103，故选C.5已知变量x，y满足约束条件则z2x4y的最大值为 解析：由z2x4y得z2x2y，设mx2y，得yxm，平移直线yxm，由图象可知当直线yxm经过点A时，直线yxm的截距最大，由解得即A(3,1)，此时m最大，为m325，此时z也最大，为z2x2y2532.6设实数x，y满足不等式组则2xy的最大值为 解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示作出直线2xy0，平移该直线，易得当该直线经过点A(4,4)时，2xy取得最大值，为12.7已知点A(2
6、，1)，点P(x，y)满足线性约束条件O为坐标原点，那么的最小值是 解析：画出满足约束条件的平面区域，如图所示又由(2，1)(x，y)2xy.令目标函数z2xy.联立方程解得B(2,1)，z2xy在点B处取得最小值zmin2(2)15.8已知点M，N是平面区域内的两个动点，a(1,2)，则a的最大值为 解析：表示的平面区域如图中阴影部分所示，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则a()aaax22y2(x12y1)，设zx2y，平移直线x2y0，易知当直线经过点A(4,4)时，z取得最大值，最大值是12，当直线经过点B(2,0)时，z取得最小值，最小值为2，所以a的最大值为10.9若平面区域
7、夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是 解析：根据约束条件作出可行域如图阴影部分，当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件，联立方程组求得A(1,2)，联立方程组求得B(2,1)，可求得分别过A，B点且斜率为1的两条直线方程为xy10和xy10，由两平行线间的距离公式得距离为.10设变量x，y满足约束条件则z|x3y|的取值范围是 解析：作出约束条件，对应的可行域如图，z|x3y|，其中表示可行域内的点(x，y)到直线x3y0的距离，由图可知，点A(2,2)到直线x3y0的距离最大，最大为，又距离最小显然为0，z|x3y|的取值范围为0,8题型三非线性目标函数的最
8、值（取值范围）非线性目标函数最值问题的常见类型及求法距离平方型目标函数为z(xa)2(yb)2时，可转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)之间的距离的平方求解斜率型对形如z(ac0)型的目标函数，可利用斜率的几何意义来求最值，即先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)与点连线的斜率的倍的取值范围、最值等点到直线距离型对形如z|AxByC|型的目标函数，可先变形为z的形式，将问题化为求可行域内的点(x，y)到直线AxByC0的距离的倍的最值1实数x，y满足(1)若z，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；(2)若zx2y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围；(3)求目标函
9、数z的取值范围；(4)求目标函数zx2y22x2y3的最值解析：由作出可行域，如图中阴影部分所示(1)z表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率因此的范围为直线OB的斜率到直线OA的斜率(直线OA的斜率不存在，即zmax不存在)由得B(1,2)，所以kOB2，即zmin2，所以z的取值范围是2，)(2)zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由得A(0,1)，所以OA2()21，OB2()25，所以z的取值范围是1,5 (3)z可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率，所以z的取值范围是(，0(4)zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2，PQ(01)2(21)22，PQ，所以zmax213，zmin1.2.已知变量x，y满足约束条件则的取值范围是 解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示易知可行域的三个顶点的坐标分别为(1,3)，(1,6)，表示可行域内的点(x，y)与原点连线的斜率
