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1、华东师范大学 硕士学位论文 Lorentz破缺的时空几何 姓名：张磊 申请学位级别：硕士 专业：理论物理 指导教师：薛迅 20100501 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 摘要 局部L o r e n t z 不变与C P T 不变一起构成了所有现代物理学的基础。而当今物 理实验对这两者的破缺程度给出了很严格的限制。但与此同时，有诸多细微现象 都似乎在表示一件事情，那就是L o r e n t z 对称性与C P T 对称性很可能是破缺的。 因而，寻找这种可能的破缺，并且给出匹配的合理的物理图景，将是一件很有意 义的事情。 自从0 6 年C o h e n 与G l a s
2、h o w 在 1 中提出了L o r e n t z 破缺图景下的物理概念 后，许多基于这种物理思想的构造方式被提出。本文将他们的思想与F i n s l e r 几何做结合，试图给出F i n s l e r 几何与L o r e n t z 破缺之间的联系，并且给出 F i n s l e r 时空上的物理。 首先从对称性破缺出发，我们选择L o r e n t z 李代数的四元素子代数与三元素 子代数作为破缺后时空的原始局部对称性，随后将它们与时空平移李代数做半直 积，再将其形变，从而得到L o r e n t z 破缺时空的对称性。 在得到上述李代数结构后，找出相应的矩阵表示，通过K
3、 i11i n g 矢量场方程 来得到平直的F i n s l e r M i n k o w s k i 几何的度量函数，该度量函数在上述形变群作 用下是不变的，从而反应了时空具有相应的对称性。 在得到了所需的背景F i n s l e r 时空后，我们将给出这种时空中的点粒子作用 量，从而得到点粒子在所选定F i n s l e r 时空上的色散关系。 在这里，我们将看到，F i n s l e r 时空可以看作是平直时空上加上了某种相互 作用势，因而可以将F i n s l e r 几何视为某种具体的动力学模型； 最后，在获得了F i n s l e r 时空中的点粒子作用量与色散关系后
4、，我们可以设 法构造出F i n s l e r 时空中的经典场的作用量，包括标量场、旋量场与矢量场。而 同时，如果我们要求规范对称性依然成立，那么我们也将得到F i n s l e r 时空中的 规范相互作用。 同时，我们也会看到，F i n s l e r 时空中的场会展现出一些很不同的性质。场 的相互作用大多都是非定域，这种非定域性也可以看作是对场以及场的质量做了 某种特殊的“类重整化 修正。而另外一类特殊的F i n s l e r 时空也将为规范场提 供“质量”。 本文还只是在经典物理的范围来探讨L o r e n t z 破缺的物理与F i n s l e r 物理。 对于物理上不
5、可或缺的量子化，这罩并没有涉及。 F i n s l e r 几何在物理上的应用目前仍很有限。通过本文有限的尝试，我们看 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 到F i n s l e r 几何在物理上会引起不少新奇的行为。相信以后随着对F i n s l e r 几何 在物理上的不断渗入，我们会看到更多有趣的F i n s l e r 物理行为。 关键字：L o r e n t z 破缺，对称性破缺，形变群，F i n s l e r 几何 2 0 1 0 届华东师范大学硕士研究生学位论文 A b s t r a c t L o c a lL o r e n t zi n v a
6、 r i a n ta n dC P Ti n v a r i a n ta l et h eb a s e so fm o d e m p h y s i c s ，a n d m o d e mp h y s i c se x p e r i m e n t sh a v eg i v e nas e r i o u sr e s t r i c t i o no ni t B u tn o w a d a y s ， t h e r ea r em o r ea n dm o r ei n d i c a t o r ss h o w st h a to n eo rb o t ho f
7、t h e ym i g h tb eb r o k e n S o ，f i n dan e ww a yt oc o n t a i nt h es y m m e t r yb r o k e na n dc o m b i n ei tw i t ht h ea l lt h e v e s t e dp h y s i c sf a c t sm i g h tb eam e a n i n g f u lw o r k S i n c e2 0 0 6 ，C o h e na n dG l a s h o ws h o w nt h ep h y s i c si d e aa b
8、 o u tb r o k e nL o r e n t z s y m m e t r yi n 【1 】，t h e r ea r el o t so fn e wp h y s i c a lc o n s t r u c t i o nh a v eb e e nw o r k e do u t T h i sa r t i c l et r yt oc o m b i n et h eb r o k e nL o r e n t zs y m m e t r ya n dF i n s l e r i a ng e o m e t r y , f i n do u tt h ec o
9、 n n e c t i o nb e t w e e nt h e m ，a n dp o s et h ep h y s i c sr u l eo nf i n s l e r i a n g e o m e t r y F i r s t l y , w es e to f ff r o mt h es y m m e t r yb r o k e n W es e l e c tt h ef o u r - e l e m e n ts u bL i e a l g e b r aa n dt h r e e - e l e m e n ts u bL i ea l g e b r
10、a so fL o r e n t za l g e b r at Ob et h eo r i g i n a ll o c a l s y m m e t r y A n dt h e nc a l c u l a t et h es e m i d i r e c tp r o d u c t so ft h e ma n dt h et r a n s l a t i o n a l g e b r ao f ( 3 ，1 ) s p a c e t i m e A f t e rt h a t ，d e f o r mt h e s e m i d i r e c tp r o d
11、u c t s ，a n dt h e nw e g e tt h es y m m e t r yo ft h eL o r e n t z - b r o k e ns p a c e - t i m e S e c o n d l y , f i n do u tt h em a t r i xp r e s e n t a t i o no ft h ed e f o r m e ds y m m e t r y A f t e r c h o s e na na p p r o p r i a t em a t r i xp r e s e n t a t i o n ，w ec a
12、 nc o n s t r u c tt h ei n v a r i a n tf i n s l e r i a n m e a s u r e m e n tf u n c t i o nu n d e rt h eg r o u pa c t i o nb yK i l l i n gf o r m u l a T h i sm e a s u r e m e n t c a nr e f l e c tt h eL o r e n t z - b r o k e ns y m m e t r yo ft h eg e o m e t r y A f t e rt h a t ，w e
13、c a nc o n s t r u c tt h ea c t i o no fp o i n t - l i k ep a r t i c l eb yf i n s l e r i a n m e a s u r e m e n t ，a n dt h e ng e tt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o no fi t A tt h i sp a r t ，w ew i l ls e et h a tt h eF i n s l e r i a ns p a c e t i m ec a nb eu n d e r s t o o da saf l
14、 a t R i e m a n n i a ns p a c e t i m ew i t hs o m ek i n do fs p e c i a li n t e r a c t i o np o t e n t i a l S o ，w ec a n t h i n kt h a tF i n s l e r i a np h y s i c si ss o m ek i n do f d y n a m i c a lm o d e lo fs p e c i a li n t e r a c t i o n A tt h el a s t ，w ew i l lf i n do
15、u tt h ea c t i o no fs c a l a rf i e l d ，s p i n o rf i e l da n dv e c t o rf i e l d ， e s p e c i a l l yt h eg a u g ef i e l db yt h eF i n s l e r i a nm e a s u r e m e n ta n dt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n o fp o i n t l i k ep a r t i c l e s A n di fw er e q u i r et h eg a u
16、g ei n v a r i a n to fa c t i o n ，t h e nw ew i l l g e tt h eg a u g ei n t e r a c t i o nr u l eo f t h eF i n s l e r i a ns p a c e t i m e A l s o ，w ew i l ls e et h a tt h ef i e l di nF i n s l e r i a ns p a c e t i m ec a l lb e h a v ev e r yd i f f e r e n t T h ea c t i o no ft h e ma r ea l m o s ta l ln o n l o c a l ，a n dt h i sk i n do fn o n l o c a lp r o p e r t yc a nb e 1 l l 一 垫! ! 星兰奎塑翌奎兰堡主堕壅竺兰堡丝兰 u n d e r s t o o da s
