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1、平方根 立方根 学习目标 : v1了解立方根的概念,会用根号表示 一个数的立方根 v2会用立方运算求一个数的立方根, 了解开立方与立方互为逆运算 v3了解立方根的性质 v4区分立方根与平方根的不同 1.1.什么叫平方根?什么叫平方根?如何用符号表示数a(0)的平方根? 2.什么叫算术平方根? 如何用符号表示数a(0)的算术平方根? 正数a的平方根是: 正数正数a a的算术平方根是:的算术平方根是: 正数有两个平方根,它们互为相反数正数有两个平方根,它们互为相反数; ; 负数没有平方根;负数没有平方根; 0 0的平方根是的平方根是0 0 。 3.正数有几个平方根?它们之间的关系是什么? 负数有没
2、有平方根? 0平方根是什么? 回顾回顾 & & 思考思考 v1.64的算术平方根是 ( ) v2.(-6) 的平方根是 ( ) v3. 若a的平方根只有一个,那么a =( ) v4.若数b 的一个平方根是1.2,那么b的 另一个平方根是 ( ) v5. 的算术平方根是( ) 回顾回顾 & & 思考思考 1. 填空 8 6 0 -12 3 2.计算: 解解: : 2 3 回顾回顾 & & 思考思考 要做一个体积为27cm3的正方体模型(如图), 它的棱长要取多少?你是怎么知道的? 思考:(1)什么数的立方等于-8? (2)如果问题中正方体的体积为5cm3,正方 体的棱长又该是多少? 设正方体的棱
3、长为X,则 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 所以 X=3. 正方体的棱长为3 -2 正方体的 体积a 12 3 1 27 棱长 x 3 x =a 825 填表: ? 5 125 立方根的概念. 一般地,如果一个数的立方等于a,这个 数就叫做a的立方根(也叫做三次方根). 用式子表示,如果X3 =a,那么X叫做a的立方根. a a的平方根怎样表示的平方根怎样表示? ? 答答: 或 类似的请同学们想一想类似的请同学们想一想a a的立方根怎样表示?的立方根怎样表示? 立方根的表示方法:立方根的表示方法: 1.立方根的概念. 一般地,如果一个数的立方等于a,这个数就叫做 a的立方根(也叫
4、做三次方根). 例如: 3 3 3 3 =2727 则把3 3叫做27 27的立方根,即 用式子表示,如果X3 =a,那么X叫做a的立方根. 数a的立方根用符号“ ”表示,读作“三次根号a”, 其中a是被开方数,3是根指数(注意:根指数3不能省略). a 3 被开方数 根指数 如:2 2 3 3 =8 8,则2 2是8 8的立方根 ( )3=-8, 是-8的立方根 ( )3=1, 是1的立方根 ( )3=0, 0的立方根是 ( )3=-64, -64的立方根是 -2-2 1 1 0 0 -4-4 立方根的表示方法. 3 a 根指数 根号 被开方数 被开方数立方根 根指数 注意:根指数是3时,绝
5、对不能省略 不写. , , , 你会区别下列的数吗?你会区别下列的数吗? 表示表示a a的算术平方根的算术平方根 表示表示a a的平方根或的平方根或a a的二次方根的二次方根 表示表示a a的立方根或的立方根或a a的三次方根的三次方根 表示表示a a的四次方根的四次方根 思考: 如果正方体的体积为5cm3,正方体的棱 长又该是多少? 设正方体的棱长为X,则 所以正方体的棱长是 . 2.开立方. 求一个数的立方根的运算,叫做开立方. 开立方与立方也是互为逆运算,因此求一个数 的立方根可以通过立方运算来求. () 因为2 =8,所以8的立方根是( ); () 因为( ) =0.125,所以0.1
6、25的立方是( ); ()因为( ) ,所以的立方根是( ); ()因为 ( ) 8,所以8的立方根是( ); ()因为( ) ,所以 的立方根( ) 3 3 3 3 27 27 8 8 活动二 启发诱导,探索新知 2 0.50.5 00 探究题中正数、0和负数的立方根各有 什么特点? 1. 探究 3 3 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 归 纳 总 结 正数有立方根吗?如果有,有几个? 负数呢?零呢? 一个正数有一个正的立方根; 一个负数有一个负的立方根, 零的立方根是零。 (1)立方根的特征 讨论:你能归纳出平方根和立方根的异同点吗? 被开方数平方根立方根 有两个互为
7、相反数有一个,是正数 无平方根 零 有一个,是负数 零 正数 负数 零 练习:1、下列说法是否正确,并说明理由 (1) 的立方根是 ( ) (2) 负数不能开立方 ( ) (3) 4的平方根是2 ( ) (4)立方根是它本身的数只有零( ) (5)平方根是它本身的数只有零( ) (6) 的立方根是4 ( ) 3.求下列各数的立方根: (1)1,(2)-1 ,(3) -0.000008 (4)343 练习2.填空: -5-5 5 4 5 4 解: 填空: 5 5 3 例1 求下列各数的立方根 (1) 27 (2)-27 (3) (4)-0.064 (5) 0 解: (1) 27的立方根是3即 (
8、2) -27的立方根是即 (3) 的立方根是 3 1 3 练一练 1.判断下列说法是否正确,并说明理由 x (2) 25的平方根是5x (3) -64没有立方根x (4) -4的平方根是x (5) 0的平方根和立方根都是0 (1) 的立方根是 立方根是它本身的数有那些?有1, -1, 0 平方根是它本身的数呢?只有0 想一想 算术平方根是它本身的数呢?有1, 0 下列式子表示什么意义? 你能求出它们的值吗? 计算: 1.分别求下列各式的值: 解解: : 2 2、你能求出下列各式中的未知数、你能求出下列各式中的未知数x x吗?吗? (1 1) x x 3 3 343 343 (2 2)()(x
9、x1 1) 3 3 125125 解解: : x x7 7 x-1x-15 5 X=6 X=6 (3 3) (4 4) (3 3)x x2 2 3 3 (4 4) X-2X-24 4 3 3 XX6666 x x8 8 3.如果3x+16的立方根是4,求 2x+4的算术平方根. 3.分别求下列各式的值: (2) 已知 一个立方体的体积为7cm3, 则它的棱长为多少? (1) x3= -0.008 ,则x的值为多少? 思考: 当堂演练 v1、下列说法不正确的是( ) vA 的平方根是 vB vC(0.1)2的平方根是0.1 vD9是81的算术平方根 2、如果一个数的平方根等于它的立方根,则这个数
10、 是( ) v A0 B1 C1 D1 3、x是 的平方根,y是64的立方根 ,则x+y=( ) A3 B7 C3,7 D1,7 4、已知2a1的平方根是3,3a+2b+4的立 方根是3,则a+b的平方是 _ 5、立方根等于本身的数的个数为a,平方根 等于本身的数的个数是b,算术平方根等于 本身的数的个数为c,倒数等于本身的数的 个数是d,则a+b+c+d= _ 当堂演练 相同点: 0的平方根、立方根都有一个是0 平方根、立方根都是开方的结果。 不同点:定义不同 个数不同 表示方法不同 被开方数的取值范围不同 1.立方根的定义,性质,计算. 2.立方根与平方根的异同 小小结结结结: 1 1、平
11、方根的定义:如果、平方根的定义:如果 一个数的平方等于一个数的平方等于 a a , ,那那 么这个数叫做么这个数叫做 a a 的平方根的平方根 。a a的平方根用的平方根用 2 2、平方根的性质、平方根的性质 (1 1)一个正数有两个平方根,)一个正数有两个平方根, 它们互为相反数它们互为相反数 (2 2)0 0的平方根还是的平方根还是0 0 (3 3)负数没有平方根)负数没有平方根 3 3、平方根的求法:、平方根的求法: 如求如求4 4的平方根:的平方根: (2)2 = 4 4的平方根是2 即 1 1、立方根的定义:如果、立方根的定义:如果 一个数的立方等于一个数的立方等于 a a , ,那
12、那 么这个数叫做么这个数叫做 a a 的立方根的立方根 。a a的立方根用的立方根用 表示表示 2 2、立方根的性质、立方根的性质 (1 1)正数的立方根还是正数)正数的立方根还是正数 (2 2)0 0的平方根还是的平方根还是0 0 (3 3)负数的立方根还是负数)负数的立方根还是负数 3 3、立方根的求法:、立方根的求法: 如求如求8 8的立方根:的立方根: 23 = 8 8的立方根是2 即 1.一个正方体的体积变为原来的8倍,其边长变为原来 的多少倍? 2.一个正方体的体积变为原来的27倍,其边长变为 原来的多少倍? 3.一个正方体的体积变为原来的n(n0)倍,其边长 变为原来的多少倍?
13、思考: 4 4、一个正方体的体积变为原来的、一个正方体的体积变为原来的8 8倍,它的棱倍,它的棱 长变为原来的多少倍?长变为原来的多少倍? 体积变为原来的体积变为原来的2727倍,倍, 它的棱长变为原来的多少倍?它的棱长变为原来的多少倍? 体积变为原来的体积变为原来的10001000倍呢?倍呢? 试一试:一个正方体的体积变为原来的试一试:一个正方体的体积变为原来的n n倍,倍, 它的棱长变为原来的多少倍?它的棱长变为原来的多少倍? 探究先填写下表,再回答问题: a0.0000010.001 110001000000 0.010.1110100 从上面表格中你发现什么? 被开方数的小数点向左(或向右)移动三位 ,那么它的立方根相应地向左(或向右)移 动一位; 利用发现的规律做题 0.1442 0.01442 14.42 144.2 课后作业: