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1、掩鑫肇 翔 期 V o L21 , Ju n e N0 . 3 , 1992 微分几何方法与非线性控制系统 (3 ) 张嗣流 王景才 刘晓平 (东北工学眺自控系 ,沈 用 , 110006) 5 李导数与李代数 正如前面讲过的 , 定义在微分流形上的动态系统完全可以由定义在该流形上的向量场描 述 . 给定一个向量场就代表了给定一个动态系统 . 实际上 , 向量场的局部坐标表示就是一阶微 分方程组的等式右侧 , 若右侧含有控制量 , 那就是一个控制系统 , 当控制量改变时 , 方程右侧也 随之改变 , 因而 向量场也就 随之改变 . 将 控制 量作输入 , 向量 场和输 入建立了关系 . 输入
2、有许多 种 , 对应许多个向量场 . 这节将研究向量场集合及其上 面的有关运算 . 一个函数f任犷(M) , 在某点沿 指定方向求方向导 数 , 给 出沿这个方向的变化率 , 是建立 在切向量基础上的 , 并未给 出一种过 程 . 在流形M上除了定义少函数外 , 还定义了向量场和 对偶向量场 , 它们在某个方向上也有变化率 , 比如在某个向量场的方向上 , 它们的变化率应如 何求呢?能否给出一种统一的方法?答案是肯定的 . . 1 单参数变换群 我 们这样来考虑 , 在流 形 上给 定一个 光滑 向量场 , 就相当于给 定 流形 上的一 条积分 曲线 , 沿着积分曲线运动 , 就等于沿向量场方
3、向运动 , 因为积分曲线上任一点的切向量恰妊与向量场 的方向一致 . 这就给我们一个启示 , 沿着向量场方 向就是沿着与其对应的积分曲线的切向量方 向 , 因此 , 找出向量场的积分曲线就可以了 . 设X是微分流形M上的光滑向量场 , 则在任意 点 p M , 存在一个邻域 U , 根据微分方程 解的存在 唯一性 , 必存在一 条过P点的积分曲线 , 用 抓t , P )表示 , 令 妈( P)一抓t , P ) , 则可证明 它具有如下性质 : (1)几(P )=P , (2)妈 o 砚(P)“尹+ (P) , V s ,t 任R . 显然 , 几 是恒等映射 , 价 侣侣十 :, 由此可推
4、出抓 侣 , 即每一个 侣都是可逆的 , 所以侣是M ”M的微分同胚 . 并称 妈 是作用在M上的单参数可微变换群 . 若在M上给定侣 , 令p任M , 们( P)一抓t , P) , 则杯 t , 户)是 M上过P 点的一条参数曲线 , 称 招的轨线 . 用X , 表示轨线在 P点的切 向量 , 于是流形M上建立 了向量场X , 称为变换 群 界诱 导的向量场 . 可以证明它是光滑的 , 并有如下结论 : 设X是定义在 M上的俨向量场 , 则在任意点 P任M , 存在一个邻域 U 和作用在 U 上的 局部参数变换群侣 , t I 。, 使X恰是侣在 U上所诱导的向量场 . 乐 2 李导数 由
5、于 男 是微分同胚 , 因此在流形 M上可产生诱导映射 , 正如前面所讨论的 , 拉回映射扩 使流形M上的微分形式 。 沿着积分 曲线被拉回到 好 。 , 而推前映射 卯使向量场 Y 沿着积分 收稿日期 : 190 1一09一25 张俐波等 ; 徽分几何方法与非线性撞制系统( 3 ) 曲线被推前到卯 Y , 这样就可以在M的积分 曲线扒t , ) P上 , 即向量场 X 方向上 , 将函数f C(M) ( 可认为是微分 o 型) 、 微分一 型 。 和向量场 Y在两点上进行比较 , 当 t o 时便得出变 化率 , 称为iL e 导数 , 记为 L x , 具体定义如下 : (l)标量场 ,
6、即f C (M) L x f 户 鱼 lim 歼 f 一 f t (5 . 1) 其局部坐标表示为 x L 一 X f 一 郭二 , 剔 刃, 这正是沿向量场 X 的方向导数 , 但这是从另一个角度得出的 . (2)对偶向量场 , 微分一型 。= (。 (少) , , 扩勿) )任V (M) (5 . 2) r 、二 科 . 田一必 二x。 丝气 鹭 一不厂 一- (5 . 3) 在局部坐标下可表示为 , 彻 , 、, 、 二 . 次 L 义田 气气万一 . A) 十 田二一 以沈少dZ了 (5 . 4) (3)向量场 , Y(少(x) , , 少“ (x) T 任V(M) x L Y i m
7、兰二里里 (5 . 5) 在局部坐标下可表示为 . x I 卜瓢 一 争 (5 . 6) 在上面几式中 , a X /a x , 甜/七 , 彻 了 /七均表示相应向量的J a c oi b a n 矩阵 . 从上述分析可以看出 , 李导数具有如下性质 : (i)线性性 , V a , 夕CR , X任V(M) L x (a f +月 g) a L x f+ 肚 x g , f , g C (M) L x ( a Y 十口Z) = a L x Y十口乙xZ . Y , Z任V(M) L x ( a。; + 伽 2) a L x 。; + 肚 x。: , 。: , 叭e V (M) (2)满足乘
8、法法则(即L eibnit: 法 则) L x (Y Z) =(L x Y)Z+Z(L x Y) L x f 闭 一 了乙 x。 + (L x f)。 L x (田 , Y)=L x田, Y)十(田 , L x Y ) . 关于李导数的高阶导数可用递推算法定义 , 若定义 L乡f一 f , L乡YY , L吴 。 一 。 则 有 L乡f=L x (L犷 f ) , L乡YL x (乙犷 Y) , L乡 。 一L x (乙犷 。) 5 . 3 李括号与李代数 下面引入以后应用中经常用的记号 李括号 , 即 X , Y j= L x Y 可以证明【 X , YXY一YX . 其意义是 : VfeC
9、 “ (M) , 有 (5 . 7) 信息与控侧 1 9蛇年 第1 2.策 3期 X ,丫f =X(Yf)一Y(Xf) 并称为李括号 . 它具有如下性质 : (l)对R 线性 , V a , 夕任R , X , Y , Z任V(M) aX + 尸 , Z a X . 2 +夕Y , Z (2)反对称性 【 X , Y一 【 Y , X (3)Ja e obia n 等式 X , Y , Z+ Y , Z , X +Z , X , Y = 0 同时还有 L x , L , = L : , ,1 (5 . 8 ) (5 . 9) (5 . 10) (5 . 11) (5 . 12) L 一x +
10、尸 a L x +夕L , (5 . 13) 为记号上的方便 , 规定 X :, , X 。 会X , , X Z, X 3 , , X卜 , X * , (5 . 14) 在一个向量空间上 , 若存在括号积 , 且满足上面的三条性质 , 则称向量空间为李代数 . 因为 V (M)在点点意义下 是向t空间 , 且定义 了李括号 . 因 此V(M)是李代数 . 在应用中 , 常遇到的是李代数 V(M)的子代数 . 若 V(M)的一个子集L , 对李括号运算是封 闭的 , 即V X , YeL 及 “ , 夕任 R , 均有 口尤 + 盯 e L , 【 X , YeL 则称 L 为李代数 V(M
11、)的子代数 . 若子集是向量场族X , 1 又e A生成的 , 那么 V(M)中包含该 子集的最小子代数 , 称为由这族向量场生成的李代数 , 记为2时 , 它也是T , M的子空间 , 那么 , 是否也存在一个二维子流形 , 它的切空间在p点 刚好与子空间重合? k 个无关向量场的情况呢?答案并不完全 对 , 在什么条件下成立呢?下 面 就来讨论这一问题 . 6 . 1 分布与积分流形 微分流形 M上的分布是一个映射 。 : M, T材 , 且满足 。 , cT , M , 即在每点 P任M , 。 , 均 是M在 P点的切空间的子空间 . 子空间的维数称 的维数一般说来 , 各点的维数不一
12、定相 同 但在M上 , 若分布的各点处维数相同 , 称非奇异分布 ; 若在户点的某个邻域内 , 各点处的 维数相同 , 则称在P点非奇异 . 向量场可以认为是 M上的一维分布 . 设一族向量场(X * 又任 A) , 以罗函数为系数作有限次线性组合 , 并记为 S户(X , I人6 八= = 习关X , , 人 C一(M) , 风 任 A(6 . 1) 张网旅等 : 微分几何方法与非线性控制系统(3 ) 称由向量场族张成的分布 . 就某点 p而言 , 每个X 都是过p点的切向量 . 实际上( 6 , l )式是由 切向量 X * 张成的子空间 , 它包含在T , M中 . 一个k维分布。 ,
13、km , 是指在任一点 Pe M都存在一个邻域 U和k个线性无关的向量 场 X , X : , , X , 使得 乙 S P毛X l , , X . , PeU(6 . 2) X , , , X * 称为 的局部基底 . 若局部基底中 , 每个向量场都是光滑的 , 则分布 。 是光滑的 . 应 注意 的是 , 基底 是局部的 , 在全 局意义下未 必存在 . 一个分布 。 , 若对李括号运算是封闭的 , 即任给X , Y任乙 , 均有【 X , Ye。 , 则称分布 。 是 对合的 . 非奇异对合分布是十分重要的 , 为此给出如下结论 : 乙 为微分流形M上的一个非奇异对合分布的充要条件是 :
14、 对M的每一点 P , 。 在 P 的某 个邻域 U 上都有一个线性无关的局部基底 X : , , X , , 使得 X 了, X , 卜习 C;,(x) X , , j一l , , k (6 . 3) 前面讲过 , 流形M上的一个光滑向量场X , 在 P任M 点的邻域U 内 , 其局部坐标表示为 X一 象 一?, 易 若 X , 0 , 总可找到一个局部坐标系 , 在此邻域 内有X 一 爵 . 微分流形M上的一个分布 , 如果对 任何一点P 任M , 都存在 一 个局 部 坐标邻域( U , 妙 , 使得在 U上 J 乙二占P左下 二下 ,., 一 仁兀石 三 、 a劣 月 那么就说 。 是
15、完全可积的 . 完全可积的几何意义是这样的 ; 在 U 中任何一点 P 一 (瑞 , , 才 ) , 都有一个通过它的k维子流形 S= x 任U x杆 一 x犷 , 一 , 广 x刹 这个子流形的切空间在任意一点均与分布重合 , 即T声 。 , , PeS . 这个子流形 S 称为是分布 。 的积分流形 . 积分流形存在的条件由下面的r F o be n iu s 定理给出 . r Fo be n 比s定理 : 一个非奇异分布完全可积的充要条件是它对合 . 一个连通子流形S , 如果它是 的积分流形 , 而 且任何一个与S相交的乙的积分流形都 包含在 S 中 , 则称 S为一个 最大积分流形
16、. 非奇异对合分布过每一点 P任M 均存在唯一的一 个 心的最大积分流形 . M的一维分布是以向量场 X 为基底的 , 它总 是对合的 , 因为X , X=o , 所以 一维分布总 是可积的 , 即向量场总存在积分曲线 . 象讨论向量场X的对偶向量场 。 一样 , 也可研究分布 乙 的对偶分布 口 , 它的定义与分布 。 类似 . 对偶分布。是由M到T M 的一个映射口 , 对任一个点p 任M 均有口 , cT;M . 对偶分 布也可由对偶向量场集合在 C“(M)上张成 口=SP。 , !又任A . (6 . 4) 若一个分布是由光滑向量场在C “ 函数族上张成的 , 则称分布是光滑的 ; 类似地 , 由一些解 析向量
