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1、第一章第一章 l1.1概述 l一概念 l 随着计算机软、硬件的发展与应用，各 种新的现代设计方法越来越得到发展，机械 最优化设计就是产品的设计方法之一。现在 各行各业都应用优化方法与概念解决实际问 题。特别是机电产品设计（包括零件、部件 、产品）。 l最优化设计是人们在工程技术、科学研究和 经济管理等诸多领域中经常遇到的问题。 l如： l最优化设计的目的： l 机械设计师追求其设计的方案是 l 尺寸最小（材料消耗最少或重量最轻） l 成本最低（ 运输、资源分配、安排生产等 ） l 性能最好（零件、部件、产品） l每一产品设计、制造过程中，都含有很多因素 如何优化。 l因此，最优化理论和技术必将
2、在社会的诸多方 面起着越来越大的作用。 l目前国内外设计方法 l常规设计：用人工手算几种方法选其较好者 l计算机辅助优化设计：用近代的优化数学方法 和理论编制计算机程序，用计算机辅助计算千 万种方案，有规律最速得其最优方案。 l国际情况：先进国家以采用后种方法为主 l国内情况：两种方法并行，但趋向国际情况， 目前国内大型企业（如汽车、航空、航天和科 研院所）均采用计算机辅助优化设计 l2、最优化设计工作包含内容 l （1）将设计问题的物理模型转化为数学模型 ，建立数学模型时要选取设计变量、列出目标 函数，给出约束条件，目标函数是设计问题所 要求的最优化指标与设计变量之间的函数关系 式。 l（2
3、）采用最适当的最优化方法，求解数学模 型。可归结为在给定的条件（例如约束条件） 下求目标函数的极值或最优化值问题。 二、最优化设计数学模型中的二、最优化设计数学模型中的 基本概念基本概念 l1、设计变量：在设计过程中进行选择并 最终必须确定的各项独立参数（变量） l 如结构的总体尺寸、零件的几何尺寸 、物理特性等 lA:表示 N维设计变量可表示为X l例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产 品每件需要用材料9kg、3个工时、4kw电， 可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料 4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若 每天能供应材料360kg、有300个工时、能供 200kw电，问每
4、天生产甲、乙两种产品各多 少件，才能够获得最大的利润。 l选择设计变量: l分别以生产甲乙两种 产品数为 l2目标函数：设计中预期要达到的目标 l如（重量最轻、或尺寸最小，性能最好等） l目标函数应表示为各设计变量的函数 la单目标函数:最优化问题仅有一个单目标函数 lb多目标函数：在同一设计中有多个目标函数 l 对于多目标函数可以独立地列出几个目标函 数式 lC综合目标函数：把几个目标函数综合到一起 l3约束条件：在设计中对设计变量取值的限制 条件 l（1）边界约束或区域约束 l（2）性能约束 l（3）显约束和隐约束 l（4）约束的表达式形式：按表达式约束分为 等式和不等式约束 l4数学模型
5、： 首先把工程问题用数学方法来描述，建立一个数学模型。机械优化设计的数 学模型已模式化了，可写成： 最优方案 最优值 l例:某车间生产甲、乙两种产品。生产甲种产 品每件需要用材料9kg、3个工时、4kw电， 可获利60元。生产乙种产品每件需要用材料 4kg、10个工时、5kw电，可获利120元。若 每天能供应材料360kg、有300个工时、能供 200kw电，问每天生产甲、乙两种产品各多 少件，才能够获得最大的利润。 l5连续变量 l6离散变量 l7约束优化与非约束优化 l8线性优化与非线性优化 l例要用薄钢板制造一体积为 的货箱, 由于运输装卸要求其长度不小于4m,问为了 使耗费的钢板最少并
6、减轻重量,应如何选取 货箱的长、宽、和高？ l解： l9可行域与可行设计点 l非可行域与非可行设计点 l例如： l将约束函数值为零时所得的曲线所包围的图形 ，在此图形内取点为可行设计点，在图形外取 点为非可行设计点。既满足约束条件所形成的 图形内取点。 l10 局部最优和全局最优 l 目标函数不是单峰函数时，有若干个极小点 l 对应有函数值称为局部最优解，其中函数 值最小的点称为全域最优解 l 直接搜索法：通过函数值的计算和 比较，确定搜索的方向和步长。如：黄 金分割法、二次插值、复合形法等。 l 间接搜索法：利用函数的一阶或二 阶偏导数矩阵确定搜索方向和步长。如 梯度法、牛顿法等。 l最优化
7、设计的任务：一是找到最优解， 二是如何提高求优过程的效率。 对n维的非线性目标函数，用常规的解法求极值，往往是很困难的。有 效的办法使用迭代算法。 1.21.2优化设计中的迭代计算方法优化设计中的迭代计算方法 l特点：按照一定的逻辑结构进行反复的数值计 算，寻求函数值不断下降的设计点，直到最后 获得足够精度的近似解时就截断计算。 l一、迭代过程:从一个选定的初始点X出发,沿某 种优化方法所规定的方向S,确定适当的步长a. 产生一个新的设计点. l l l满足 l a-第k步迭代计算的步长 l二、迭代计算的终止条件 l 1.点距准则: l 相邻两迭代点之间的距离已达到充分小 既： l 2.2.函
8、数下降量准则函数下降量准则: : 相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小：分相邻两迭代点的函数值下降量已达到充分小：分 为两种情况：为两种情况： 如果F(X(k+1)1 用函数绝对下降量准则下降量准则 如果F(X(k+1)1可采用相对下降量下降量来判断。判别式： l3.梯度准则 l 目标函数在迭代点的梯度已达到充分小 既： l三、变量的坐标变换 l 原因：变量间的数值大小相差极大，无法用 统一步长寻优，为此采用坐标变换便于寻优的 统一步长。 l设计变量的标准化处理，是将设计变量值用变 量区间内的相对坐标来表示，将设计变量的真 实值化为变量区间的相对值，使变量的变化范 围均在01区间内。 第二章
9、第二章 一维优化方法一维优化方法 对于一维目标函数 f ( x ),寻找它的最优点 x 和最优值 x （k+1)= x （k ) + （k ) S （k ) S-方向矢量：由某种优化方法规定 -步长 min f （ x （k+1) ） = f （x （k ) + （k ) S （k ) ） 1. 确定搜索区间 2.求最优步长 ，使目标函数达到最小。 2.12.1 初始搜索区间的确定初始搜索区间的确定 有两种方法：进退法 外推法 进退法：分为三步 a. 试探计算 初选一个初始点 和初始步长 前进点 并计算函数值 f（x 1）= y1 f（x2）= y2 （1）当y2 y1时，则极小点必在x 1左
10、方，应再做 后退运算 b. y2 y1 (后退运算） 若在步骤（2）中， y2 y1 ，则应做后退运算，将步长 改变为负值 h （h0）置换点号使它自右向左 反向排列。 l再将后退步长加倍 l计算第三后退点（新点）及其函数值 l x 3 = x 2+h f（x 3）= y3 比较函数值f（x 3）， f（x 2）既比较y2 ，y3 的大小 此时又有两种情况 l例：试用进退法确定函数 l的一维优化初始搜索区间a ， b l初始点x 1 =0，初始进退距h 0 =1 2.2 2.2 格点法格点法 l格点法是一种思路极为简单的一维求优法 l设函数f(x)的初始搜索区间a ， b，在此区间 内取n个内
11、等分点x 1，x 2 x n ，并计算函数值 ly 1，y 2 y n l并比较取出最小y m=min（y i i=1，2n) l并取x m左右两相邻点x m-1 ，x m+1 为新区间 l判断x m+1-x m-1精度值 , 成立 l则: x m x* y m y* l不成立(x m-1 ，x m+1 )作为新的初始区间继续进 行. l速度取决于区间缩短率 l区间缩短率=新区间/旧区间 l格点法每次区间缩短时取内分点数为n则 l入=2/(n+1) lN越多,入越小，区间缩短越快，但计算 次数越多 l例题：用格点法求一维目标函数的最优解 l已知：初始区间a ， b= 1 ，2.2 l 精度为0.2 内分点 n = 4
