《（福建专用）2018年高考数学总复习 第二章 函数 2.9 函数模型及其应用 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（福建专用）2018年高考数学总复习 第二章 函数 2.9 函数模型及其应用 理 新人教a版（29页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2.9 函数模型及其应用 知识梳理考点自测 1.常见的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0); (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0); (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a0,b0,b1); (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m0,a0,a1); (6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0); 知识梳理考点自测 2.指数、对数、幂函数模型的性质比较 单调递增 单调递增 单调递增 y轴 x轴 知识梳理考点自测 知识梳理考点自测23415 1.判断
2、下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)幂函数增长比一次函数增长更快.( ) (2)在(0,+)内,随着x的增大,y=ax(a1)的增长速度会超过并远远 大于y=x(0)的增长速度.( ) (3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较 大的实际问题.( ) (4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x(4,+)时,恒有h(x)1)增长速度越来越 快的形象比喻.( ) 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理考点自测23415 2. (教材例题改编P123例1) 一个工厂生产一种产品的总成本y(单 位:万元)与产量x(单
3、位:台)之间的函数关系是 y=0.1x2+10 x+300(00,y1为增函数, 当x=200时,y1取得最大值1 980-200a,即投资生产甲产品的最大 年利润为(1 980-200a)万美元. y2=-0.05(x-100)2+460(1x120,xN*), 当x=100时,y2取得最大值460,即投资生产乙产品的最大年利润 为460万美元. 考点1考点2考点3考点4 (3)为研究生产哪种产品年利润最大,我们采用作差法比较: 由(2)知生产甲产品的最大年利润为(1 980-200a)万美元,生产乙 产品的最大年利润为460万美元, (1 980-200a)-460= 1 520-200a
4、,且6a8, 当1 520-200a0,即6a7.6时,投资生产甲产品200件可获得最 大年利润; 当1 520-200a=0,即a=7.6时,生产甲产品200件或生产乙产品100 件均可获得最大年利润; 当1 520-200a0,即7.6a8时,投资生产乙产品100件可获得最 大年利润. 考点1考点2考点3考点4 例2(2017江苏如东一中月考)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅 游,若每团人数在30或30以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多 于30,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数 75为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元. (1)写出飞
5、机票的价格关于人数的函数; (2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润? 考点1考点2考点3考点4 解: (1)设每团人数为x,由题意得0x75(xN*),飞机票价格为y元, 因为S=900 x-15 000在区间(0,30上为增函数,故当x=30时,S取最大 值12 000.又S=-10(x-60)2+21 000,x(30,75, 所以当x=60时,S取得最大值21 000. 故当x=60时,旅行社可获得最大利润. 考点1考点2考点3考点4 思考分段函数模型适合哪些问题? 解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能 用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.
6、如 出租车票价与路程之间的关系就是分段函数. 2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以 先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起. 要注意各段变量的范围,特别是端点. 考点1考点2考点3考点4 对点训练2已知某手机公司生产某款手机的年固定成本为40万 元,每生产1万台还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手 机x万台并全部销售完,每万台的销售收入为R(x)万元,且 (1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万台)的函数解析 式; (2)当年产量为多少万台时,该公司在该款手机的生产中所获得的 利润最大?并求出最大利润. 考点1考点2考点3考点4
7、 考点1考点2考点3考点4 例3某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室,在矩 形温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内 墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面 积最大?最大面积是多少? 答案 答案 关闭 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 对点训练3(2017江西新余一中检测)为了在夏季降温和冬季供暖 时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物 要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元. 该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位 :cm)满足关系 (0x10),
8、若不建隔热层,每年能源消耗 费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式. (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. 答案 答案 关闭 考点1考点2考点3考点4 例4某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%, 试解答以下问题: (1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关 系式; (2)计算10年以后该城市人口总数;(精确到0.1万人) (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年) (1.012101.127,1.012151.196,1.012161.
9、210,log1.0121.215.3) 考点1考点2考点3考点4 解: (1)1年后该城市人口总数为y=100+1001.2%=100(1+1.2%), 2年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)+100(1+1.2%)1.2%=100(1+1.2%)2, 3年后该城市人口总数为 y=100(1+1.2%)2+100(1+1.2%)21.2%=100(1+1.2%)3, x年后该城市人口总数为y=100(1+1.2%)x. 所以该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式 是y=100(1+1.2%)x. 考点1考点2考点3考点4 (2)10年后该城市人口总数为10
10、0(1+1.2%)10112.7(万人). 所以10年以后该城市人口总数约为112.7万人. (3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x120,于是 即大约15年以后该城市人口总数将达到120万人. 考点1考点2考点3考点4 思考哪些实际问题适合用指数函数模型解决? 解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂 等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x( 其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数 运算,要注意与已知表格中给定的值对应求解. 2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据 实
11、际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出 数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义. 考点1考点2考点3考点4 对点训练4声强级Y(单位:分贝)由公式 给出,其中I 为声强(单位:W/m2). (1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级. (2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强 为多少? (3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y50分贝,已知熄灯后两位 同学在宿舍说话的声强为510-7 W/m2,问这两位同学是否会影响 其他同学休息? 考点1考点2考点3考点4 考点1考点2考点3考点4 1.解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利 用数学知识,建立相应的数学模型; (3)解模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学结论还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下: 2.实际问题中往往涉及一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值 、函数的单调性、基本不等式等求得最值.
