概率论基础ch

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1、Ch1：事件与概率 1.样本空间 2.随机事件 3.事件的关系与运算 4.有限样本空间 1.2 样本空间与事件 Date1数科院 2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具有 一定的统计规律性 . 随机现象是通过随机试验来研究的. 概率论如何来研究随机现象? 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联 系 , 其数量关系无法用函数加以描述. 1 样本空间 Date2数科院 对某事物的特征进行观察, 称为试验. 对随机现象的观察，称为随机试验，用E表示 。 随机试验具有如下特点： q 不确定性，即试验前不能预知，但试验后 有且仅有一个结果出

2、现 p可重复性 q 可观察性,即能明确所有的结果 Date3数科院 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”. 分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. Date4数科院 1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数. 同理可知下列试验都为随机试验. 2. 记录某公共汽车站某时 间段的等车人数. 3. 考察某地区 10 月份的 平均气温. 4. 从一批灯泡中任取 一只,测试其寿命. Date5数科院 随机试验E 所有可能的结果组成的集合称为 样本空间 ，记为或S。 随机试验

3、E 的每一个结果, 称为样本点。 记为 或e。 关系： = 、 S = e Date6数科院 观察某地区每天的最高温度与最低温度 观察手机每天接到的电话次数 有限样本空间 无限样本空间 抛一枚硬币3次，观察正面出现的次数 例1 给出一组随机试验及相应的样本空间 可列样本空间 Date7数科院 答案 写出下列随机试验的样本空间. 1. 同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和. 2. 生产产品直到得到10件正品,记录生产产品 的总件数. 课堂练习 Date8数科院 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间一般也不同. 例如 对于试验: “将一枚硬币抛掷三次”. 若观察正面 H、反面 T

4、出现的情况 ,则样本空间为 若观察出现正面的次数 , 则样本空间为 说明 1. 试验不同, 对应的样本空间一般不同. Date9数科院 说明 3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题. 例如 只包含两个样本点的样本空间 可以作为抛硬币的正、反面, 也可作为产品检验中 合格与否 , 婴儿性别的区别等. 说明 4. 在概率论的研究中，总假定样本空间是 事先给定的。 Date10数科院 说明：随机事件是样本空间的子集。 2 随机事件 随机事件：样本点所构成的集合。 随机事件发生 当且仅当组成随机事 件的一个样本点出现在该次试

5、验中 Date11数科院 基本事件 仅由一个样本点组成的事件， 它是随机试验的直接结果,每次试验必定发 生且只可能发生一个基本事件 必然事件全体样本点组成的事件,记为, 每次试验必定发生的事件. 不可能事件不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件. 复合事件至少由两个样本点组成的事件。 Date12数科院 随机试验、样本空间与随机事件的关系 每一个随机试验相应地有一个样本空间, 样 本空间的子集就是随机事件. 随机试验样本空间 子集 随机事件 随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 复合事件 互为对立事件 Date13数科院 A 随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算

6、3、事件的关系和运算 韦恩图 ( Venn diagram ) Date14数科院 A 包含于B 事件 A 发生必 导致事件 B 发生 A B 且 1. 事件的包含 2. 事件的相等 Date15数科院 事件 A与事件B 至 少有一个发生 3. 事件的并(和) Date16数科院 或 事件 A与事件B 同时发生 发生 的积事件 的积事件 A 与B 的积事件 4. 事件的交(积) Date17数科院 发生 事件 A 发生，但 事件 B 不发生 A 与B 的差事件 5. 事件的差 Date18数科院 A 与B 互斥 A、 B不可能同时 发生 A B 两两互斥 两两互斥 6. 事件的互斥(互不相容)

7、 Date19数科院 A 与B 互相对立 每次试验 A、 B中有 且只有一个发生 A 称B 为A的对立事件(or逆事件)，记为 注意：“A 与B 互相对立”与 “A 与B 互斥”是不同的概念 7. 事件的对立 Date20数科院 8. 完备事件组 若 两两互斥，且 则称 为完备事件组 或称 为 的一个划分 Date21数科院 符号测度论含义概率论含义 全集样本空间，必然事件 空集不可能事件 集合的元素样本点 单点集基本事件 A 一个集合一个事件 A B A的元素在B中A发生导致B发生 A=B 集合A与B相等事件A与B相等 AB A与B的所有元素A与B至少有一个发生 AB A与B的共同元素A与B

8、同时发生 A的补集A的对立事件 A-B 在A中而不在B中的元素A发生而B不发生 AB= A与B无公共元素A与B互斥 Date22数科院 符号 测度论含义 概率论含义 上极限 下极限 中有无限多个发生 中至多有限个不发生 Date23数科院 q 吸收律 q 幂等律 q 差化积 q 重余律 运算律 对应 事件 运算 集合 运算 Date24数科院 q 交换律 q 结合律 q 分配律 q 反演律 运算顺序： 逆交并差，括号优先 Date25数科院 例2 化简事件 解 原式 Date26数科院 例3 利用事件关系和运算表达多 个事件的关系 A ,B ,C 都不发生 A ,B ,C 不都发生 Date2

9、7数科院 例4 在图书馆中随意抽取一本书， 表示数学书， 表示中文书， 表示平装书. 抽取的是精装中文版数学书 精装书都是中文书 非数学书都是中文版的，且 中文版的书都是非数学书 则 事件 Date28数科院 有限样本空间的任何子集都是随机事件。 4 有限样本空间 只有有限个样本点的样本空间 例：掷骰子 Date29数科院 定义：任何事件A的概率等于其样本点的概 率之和。 显然， 非负，且满足： 有限样本空间中，令每个基本事件的概率为 ： Date30数科院 有限样本空间 可列样本空间 不可列样本空间 离散样本空间 无限样本空间 Date31数科院 1. 射击3次,事件Ai表示第i次命中目标(

10、i= 1,2,3),则事件_表示至少命中一次ABC (A) A1A2A3 (B) A1(A2A1)(A3A2)A1 (C) (D) 课堂练习 Date32数科院 2.如果 成立,则事件A与B为对立事件 A B A B CD (A) AB= (B) AB= (C) AB=且AB= (D) Date33数科院 3. 设事件A,B为任意两个事件,则_成立 AB BD (A) (AB)B=A (B) (AB)BA (C) (AB)B=A (D) (AB)B=AB Date34数科院 注：关于概率的一些解释。 (1)硬币出现正面的概率为 (2)概率不会自动“平衡” 是指多次试验中正面出现的频率接近 如总

11、次数100正面55 总次数10000正面5050 硬币连在10个正面，下一次是什么？ 打牌手风很顺，该继续还是停止？ 连生几个女孩，想生男孩，该继续生吗？ Date35数科院 (3)对概率的错误估计 a、你认为自己买彩票会中奖吗？ b、你害怕SARS吗？ 对可怕后果的担忧使人过高估计概率。 c、一对夫妇要去买点东西，该把婴儿单独 留在家中？还是带在汽车上和自己一起去？ 因为不可控制而错估概率。 d、你认为自己买彩票会赚钱吗？ 过度自信使人低估了风险。 Date36数科院 No1 作业 P56 习题一 2 3 6 Date37数科院 在一次乒乓球比赛中设立奖金1千元.比赛 规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二 人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于 某种特殊的原因必须中止比赛.问这1000元应 如何分配才算公平? 思考 题 第一周 Date38数科院