《（福建专用）2018年高考数学总复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线 理 新人教a版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（福建专用）2018年高考数学总复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线 理 新人教a版（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、9.7 抛物线 知识梳理考点自测 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_ 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物 线的 . 2.抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点,焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ; (2)顶点在坐标原点,焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为 ; (3)顶点在坐标原点,焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为 ; (4)顶点在坐标原点,焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为 . 距离相等 焦点 准线 y2=2px(p0) y2=-2px(p0) x2=2py(p0) x2=-2py(p0) 知识梳理考点自测 3.抛物
2、线的几何性质 (0,0) y=0 x=0 知识梳理考点自测 1 知识梳理考点自测 1.设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图 所示,则 (4)以AB为直径的圆与准线相切. (5)CFD=90. 知识梳理考点自测 2.设P(x0,y0)为圆锥曲线C:Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0上的任意一 点,则过点P的切线方程为 3.抛物线y2=2px(p0)的通径长为2p. 知识梳理考点自测23415 1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一 定是抛物线.( ) (2)
3、若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.( ) (3)若一抛物线过点P(-2,3),则其标准方程可写为y2=2px(p0).( ) (4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.( ) (5)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦 点坐标是 答案 答案 关闭 (1) (2) (3) (4) (5) 知识梳理考点自测23415 2.(2017江西新余一中模拟七,理5)已知抛物线y=ax2(a0)的焦点 到准线距离为1,则a=( ) A.4B.2 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理考点自测23415 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 知识梳理考点自测
4、23415 4.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 . 答案解析解析 关闭 设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相 等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x. 答案解析 关闭 y2=4x 知识梳理考点自测23415 5.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交抛 物线C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为 . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考点1考点2考点3考点4考点5 例1(1)(2017安徽模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线 于A,B两点,O为坐标原点.
5、若|AF|=3,则AOB的面积为( ) (2)(2017辽宁大连双基测试)若抛物线y2=4x上一点P到其焦点F的 距离为2,O为坐标原点,则OFP的面积为( ) 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考点1考点2考点3考点4考点5 思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题? 解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距 离相互转化. 2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练1(1)(2017河南濮阳一模)抛物线y2=2px(p0)的焦点为 圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于 M,N两点,则|M
6、N|=( ) A.30 B.25C.20 D.15 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考点1考点2考点3考点4考点5 例2(1)(2017安徽合肥一模)已知双曲线 -x2=1的两条渐近线分 别与抛物线y2=2px(p0)的准线交于A,B两点,O为坐标原点,若 OAB的面积为1,则p的值为( ) (2)(2017宁夏石嘴山第三中学模拟)如图,过抛物线y2=2px(p0)的 焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A,B,C,若|BC|=2|BF|,且 |AF|=3,则抛物线的方程为( ) 答案: (1)B (2)D 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考
7、点4考点5 思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么? 解题心得1.求抛物线的标准方程主要利用待定系数法,因为抛物 线方程有四种形式,所以在求抛物线方程时,需先定位,再定量,必要 时要进行分类讨论.标准方程有时可设为y2=mx或x2=my(m0). 2.抛物线几何性质的确定,由抛物线的方程可以确定抛物线的开 口方向、焦点位置、焦点到准线的距离,从而进一步确定抛物线的 焦点坐标及准线方程. 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练2(1)(2017宁夏银川模拟)直线l过抛物线x2=2py(p0)的 焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴 的距离是1,则此抛物线方程
8、是( ) A.x2=12yB.x2=8y C.x2=6yD.x2=4y (2)(2017广西玉林、贵港一模)已知椭圆 与抛物线 y2=2px(p0)交于A,B两点,|AB|=2,则p= . 答案解析解析 关闭 答案解析 关闭 考点1考点2考点3考点4考点5 (2)(2017全国,理10)已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两 条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为( ) A.16 B.14 C.12 D.10 答案: (1)C (2)A 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点
9、2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 思考求与抛物线有关的最值问题的一般思路是怎样的? 解题心得与抛物线有关的最值问题的两个转化策略 转化策略一:将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的 距离,构造出“两点之间线段最短”,使问题得以解决. 转化策略二:将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 ,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决. 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练3(1)(2017江西赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物 线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的 点M的坐标为( ) (2)(2017河北邢台
10、摸底)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点, 点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是 . 答案解析解析 关闭 (1)过点M作抛物线y2=2x左准线的垂线,垂足是N(图略),则 |MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时 点M的坐标为(2,2). (2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1作垂线,垂足为M1(图略),则 有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,则|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y= -1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|
11、MF|的最小值是5. 答案解析 关闭 (1)D (2)5 考点1考点2考点3考点4考点5 例4(1)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,已知点C在l上,以C为圆 心的圆与y轴的正半轴相切于点A,若FAC=120,则圆的方程为 . (2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线 (a0,b0)的右支 与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程为 . 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 思考求解抛物线与其他圆锥曲线的小综合问题要注意什么? 解题心得求解抛物线与其他圆锥曲线的
12、小综合问题,要注意距离 的转换,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线 的距离,这样可以简化运算过程. 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练4(1)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上 ,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x (2)(2017山西太原二模)已知双曲线 -y2=1的右焦点是抛物线 y2=2px(p0)的焦点,直线y=kx+m与抛物线交于A,B两个不同的点, 点M(2,2)是AB的中点,则OAB(O
13、为坐标原点)的面积是( ) 答案: (1)C (2)D 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 例5(2017安徽安庆二模,理20)已知抛物线x2=2py(p0),F为其焦 点,过点F的直线l交抛物线于A,B两点,过点B作x轴的垂线,交直线 OA于点C,如图所示. (1)求点C的轨迹M的方程; (2)直线m是抛物线的不与x轴重合的切线,切点为P,点C的轨迹M 与直线m交于点Q,求证:以线段PQ为直径的圆过点F. 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5 考点1考点2考点3考点4考点5
14、思考求解抛物线综合问题的一般方法是怎样的? 解题心得求解抛物线综合问题的方法 (1)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的 位置关系的方法类似,一般是用方程法,但涉及抛物线的弦长、中 点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定 义的灵活应用. (2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦 点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|AB|=x1+x2+p(焦点在x轴正 半轴),若不过焦点,则必须用弦长公式. 考点1考点2考点3考点4考点5 对点训练5(2017北京海淀区二模,理18)已知动点M到点N(1,0)和 直线l:x=-1的距离相等. (1)
15、求动点M的轨迹E的方程; (2)已知不与直线l垂直的直线l与曲线E有唯一公共点A,且与直线 l的交点为P,以AP为直径作圆C.判断点N和圆C的位置关系,并证明 你的结论. 考点1考点2考点3考点4考点5 解: (1)设动点M(x,y),则M的轨迹E是以N(1,0)为焦点,直线l:x=-1为准 线的抛物线,所以轨迹E的方程为y2=4x. (2)点N在以PA为直径的圆C上.证明如下: 由题意可设直线l:x=my+n, 因为直线l与曲线E有唯一公共点A, 所以=16m2+16n=0,即n=-m2. 所以(*)可化简为y2-4my+4m2=0. 所以A(m2,2m). 所以NANP,所以点N在以PA为直径的圆C上.
