《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义1 新人教a版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.3 导数的几何意义1 新人教a版选修1-1（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1、平均变化率 一般的，函数 在区间上的平均变化率为 割线的斜率 O A B x y y=f(x) x1x2 f(x1) f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 2.导数的概念 3.求函数在处处的导导数的步骤骤 （1）求平均变化率 （2）取极限 3.1.3 导数的几何意义 下面来看导数的几何意义: y=f(x ) P Q M x y O x y P y=f(x ) Q M x y O x y 如图,曲线C是函数y=f(x) 的图象,P(x0,y0)是曲线C上的 任意一点,Q(x0+x,y0+y) 为P邻近一点,PQ为C的割线, 新课探究 请看当点Q沿着曲线逐渐向 点P接近时,割
2、线PQ的变化 趋势是什么？ P Q ox y y=f(x) 割 线 切线 T 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即x0时,割 线PQ趋近于确定的位置PT.我们把直线PT称为曲线在点P处 的切线. 那么当x0时,割线PQ的斜率就无限趋近于切 线PT的斜率。 即: 这个概念:提供了求曲线上某点切线的斜率 的一种方法;切线斜率的本质函数在x=x0处的 导数. 例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. Q P y=x 2 +1 x y -1 1 1 O j M Dy Dx 因此,切线方程为y-2=2(x-1), 即y=2x. 典例分析 求切线方程的一般步骤： 例1、如图，它表
3、示跳水运动中高度随时间变化 的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象。根据图象， 请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近的变化情况 。 典例分析 解：我们用曲线h(t)在t0,t1,t2处的切线， 刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的 变化情况。 (1) 当t=t0时,曲线h(t)在t0处的切线l0平行 于x轴. 所以,在t=t0附近曲线比较平坦, 几乎没有下降. (2) 当t=t1时,曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率 h(t1)0. 所以,在t=t1附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3) 当t=t2时,曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率 h(t
4、2)0. 所以,在t=t2附近曲线下降, 即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 与t2相比,曲线在t1附近下降得缓慢些. 在不致发生混淆时，导函数也简称导数 什么是导函数? 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当时, f(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x的一 个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: 新课探究 如何求函数y=f(x)的导数? （1）求出函数在点x0处的变化率 ，得到曲线 在点(x0,f(x0)的切线的斜率。 （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即 1.求切线方程的步骤： 无限逼近的极限思想是建立导数 概念、用导数定义求 函数的导数的基 本思想，丢掉极限思想就无法理解导 数概念。 小结
